Точка M — середина ребра правильной треугольной призмы
Прямые
и
перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник равнобедренный.
б) Найдите объем призмы, если расстояние между прямыми и
равно 2.
Решение:
а) Докажем, что — равнобедренный. Точка M — середина ребра
Треугольник
правильный,
— его медиана и высота.
Это стандартная конструкция, с помощью которой в стереометрии доказывается перпендикулярность каких-либо прямых. Пользуясь признакам перпендикулярности прямой и плоскости, показали, что прямая перпендикулярна плоскости
Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости
в том числе прямой ВМ. А это значит, что треугольник
прямоугольный. Осталось доказать, что его катеты равны.
Поскольку точка M — проекция
на плоскость
По условию, По теореме о трех перпендикулярах,
Пусть
Тогда
Перейдем к плоскому чертежу.
Пусть по двум углам.
Запишем соотношение сходственных сторон:
Значит,
Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BKC.
Тогда — равнобедренный,
б) пусть расстояние между и
равно 2. Найдём объем призмы.
по определению перпендикулярности прямой и плоскости.
В плоскости проведём
Так как
Мы получили, что отрезок
перпендикулярен скрещивающимся прямым
и
Следовательно, длина КН равна расстоянию между этими прямыми. Это вполне стандартный прием для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.
По условию, это расстояние равно 2. Значит,
— прямоугольный и равнобедренный,
медиана и высота
Получим:
Из треугольника по теореме Пифагора:
Найдем объем призмы:
Ответ: б) 36
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 14, Вариант 2 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 25.08.2023