Точка M — середина ребра \(B_1C_1\) правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1.\) Прямые \(A_1B\) и \(B_1C\) перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник \(BMA_1\) равнобедренный.
б) Найдите объем призмы, если расстояние между прямыми \(BA_1\) и \(CB_1\) равно 2.
Решение:
а) Докажем, что \({\vartriangle A}_1BM\) — равнобедренный. Точка M — середина ребра \(B_1C_1. \) Треугольник \(A_1B_1C_1\) правильный, \(A_1M\) — его медиана и высота.
\(\left.\begin{matrix}
A_1M\bot B_1C_1\\
A_1M\bot {BB}_1
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow A_1M\bot \left({BB}_1C_1\right)\Rightarrow A_1M\bot BM.\)
Это стандартная конструкция, с помощью которой в стереометрии доказывается перпендикулярность каких-либо прямых. Пользуясь признакам перпендикулярности прямой и плоскости, показали, что прямая \(A_1M\) перпендикулярна плоскости \({BB}_1C_1.\) Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \({BB}_1C_1,\) в том числе прямой ВМ. А это значит, что треугольник \(A_1BM\) прямоугольный. Осталось доказать, что его катеты равны.
Поскольку \( A_1M\bot \left({BB}_1C_1\right),\) точка M — проекция \(A_1\) на плоскость \(\left({BB}_1C_1\right).\)
По условию, \(A_1B\bot B_1C_{\ }.\) По теореме о трех перпендикулярах, \(BM\bot B_1C.\)
Пусть \(AB=BC=a, {BB}_1=h.\)
Тогда \(B_1M=\frac{a}{2},{\ CB}_1=\sqrt{a^2+h^2},\ \ BM=\sqrt{h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}.\)
Перейдем к плоскому чертежу.
Пусть \(B_1C\cap BM=K; \angle BKC={90}^{{}^\circ }. \vartriangle B_1MK\sim \vartriangle CBK\) по двум углам.
Запишем соотношение сходственных сторон: \(\ \frac{B_1K}{KC}=\frac{MK}{BK}=\frac{B_1M}{BC}=\frac{1}{2}.\)
Значит, \(KC=\frac{2}{3}\sqrt{a^2+h^2},\ \ \ BK=\frac{2}{3}\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}. \)
Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BKC.
\({BC}^2={BK}^2+{KC}^2\)
\(a^2=\frac{4}{9}\left(a^2+h^2+{\frac{a}{4}}^2{+h}^2\right)\)
\({9a}^2=4\left({2h}^2+{\frac{5a}{4}}^2\right)\)
\({4a}^2={8h}^2\)
\(a^2={2h}^2; \)
\(a=h\sqrt{2};\)
Тогда \(BM=\sqrt{h^2+{\frac{a}{4}}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=A_1M, \vartriangle A_1MB \) — равнобедренный, \(A_1M=BM.\)
б) пусть расстояние между \(A_1B\\) и \(B_1C\) равно 2. Найдём объем призмы.
\(\left.\begin{matrix}
BM\bot B_1C_1 \\
A_1B\bot B_1C
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow
\left ( A_1BM \right )\perp B_1C\) по определению перпендикулярности прямой и плоскости.
В плоскости \(A_1BM\) проведём \(KH\bot A_1B.\ \\) Так как \(KH\in \left(A_1BM\right),\ \ \ KH\bot B_1C.\) Мы получили, что отрезок \(KH\) перпендикулярен скрещивающимся прямым \(A_1B\) и \(B_1C.\) Следовательно, длина КН равна расстоянию между этими прямыми. Это вполне стандартный прием для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.
По условию, это расстояние равно 2. Значит, \(KH = 2.\)
\(\vartriangle A_1BM\) — прямоугольный и равнобедренный, \(ML=\frac{1}{2}A_1B-\ \\) медиана и высота \(\vartriangle A_1MB. \)
\(\vartriangle KHB\sim \vartriangle MLB, \frac{KH}{ML}=\frac{BK}{BM}=\frac{2}{3},\ \ \ KH=\frac{2}{3}ML=2. \)
Получим:
\(ML=\frac{3}{2}HK=3,\)
\(A_1B=2ML=6.\)
Из треугольника \(AA_1B\) по теореме Пифагора: \(A_1B^2=a^2+h^2=a^2+{\frac{a}{2}}^2=36,\)
\(\frac{{3a}^2}{2}=36;\ a^2=24,\ a=2\sqrt{6},\)
\(h=\frac{a}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}.\\)
Найдем объем призмы:
\(V=S_{\vartriangle ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{4\cdot 6\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}{4}=36.\)
Ответ: б) 36
