Slider

Решение. Задание 14, Вариант 2

Точка M — середина ребра B_1C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1. Прямые A_1B и B_1C перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник BMA_1 равнобедренный.

б) Найдите объем призмы, если расстояние между прямыми BA_1 и CB_1 равно 2.

Решение:

а) Докажем, что {\vartriangle A}_1BM — равнобедренный. Точка M — середина ребра B_1C_1. Треугольник A_1B_1C_1 правильный, A_1M — его медиана и высота.

\left.\begin{matrix}A_1M\bot B_1C_1\\A_1M\bot {BB}_1\end{matrix}\right\}\Rightarrow A_1M\bot \left({BB}_1C_1\right)\Rightarrow A_1M\bot BM.

Это стандартная конструкция, с помощью которой в стереометрии доказывается перпендикулярность каких-либо прямых. Пользуясь признакам перпендикулярности прямой и плоскости, показали, что прямая A_1M перпендикулярна плоскости {BB}_1C_1. Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости {BB}_1C_1, в том числе прямой ВМ. А это значит, что треугольник A_1BM прямоугольный. Осталось доказать, что его катеты равны.

Поскольку A_1M\bot \left({BB}_1C_1\right), точка M — проекция A_1 на плоскость \left({BB}_1C_1\right).

По условию, A_1B\bot B_1C_{\ }. По теореме о трех перпендикулярах, BM\bot B_1C.

Пусть AB=BC=a, {BB}_1=h.

Тогда B_1M=\frac{a}{2},{\ CB}_1=\sqrt{a^2+h^2},\ \ BM=\sqrt{h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}.

Перейдем к плоскому чертежу.

Пусть B_1C\cap BM=K; \angle BKC={90}^{{}^\circ }. \vartriangle B_1MK\sim \vartriangle CBK по двум углам.

Запишем соотношение сходственных сторон: \ \frac{B_1K}{KC}=\frac{MK}{BK}=\frac{B_1M}{BC}=\frac{1}{2}.

Значит, KC=\frac{2}{3}\sqrt{a^2+h^2},\ \ \ BK=\frac{2}{3}\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}.

Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BKC.

{BC}^2={BK}^2+{KC}^2

a^2=\frac{4}{9}\left(a^2+h^2+{\frac{a}{4}}^2{+h}^2\right)

{9a}^2=4\left({2h}^2+{\frac{5a}{4}}^2\right)

{4a}^2={8h}^2

a^2={2h}^2;

a=h\sqrt{2};

Тогда BM=\sqrt{h^2+{\frac{a}{4}}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=A_1M, \vartriangle A_1MB — равнобедренный, A_1M=BM.

б) пусть расстояние между A_1B\ и B_1C равно 2. Найдём объем призмы.

\left.\begin{matrix}BM\bot B_1C_1 \\A_1B\bot B_1C\end{matrix}\right\}\Rightarrow\left ( A_1BM \right )\perp B_1C по определению перпендикулярности прямой и плоскости.

В плоскости A_1BM проведём KH\bot A_1B.\ \ Так как KH\in \left(A_1BM\right),\ \ \ KH\bot B_1C. Мы получили, что отрезок KH перпендикулярен скрещивающимся прямым A_1B и B_1C. Следовательно, длина КН равна расстоянию между этими прямыми. Это вполне стандартный прием для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.

По условию, это расстояние равно 2. Значит, KH = 2.

\vartriangle A_1BM — прямоугольный и равнобедренный, ML=\frac{1}{2}A_1B-\ \ медиана и высота \vartriangle A_1MB.

\vartriangle KHB\sim \vartriangle MLB, \frac{KH}{ML}=\frac{BK}{BM}=\frac{2}{3},\ \ \ KH=\frac{2}{3}ML=2.

Получим:

ML=\frac{3}{2}HK=3,

A_1B=2ML=6.

Из треугольника AA_1B по теореме Пифагора: A_1B^2=a^2+h^2=a^2+{\frac{a}{2}}^2=36,

\frac{{3a}^2}{2}=36;\ a^2=24,\ a=2\sqrt{6},

h=\frac{a}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}.\

Найдем объем призмы:

V=S_{\vartriangle ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{4\cdot 6\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}{4}=36.

Ответ: б) 36

Смотреть все задачи варианта

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.