Задание 14, Вариант 2 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Точка M — середина ребра $B_1C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1.$ Прямые $A_1B$ и $B_1C$ перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник $BMA_1$ равнобедренный.

б) Найдите объем призмы, если расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$ равно 2.

Решение:

а) Докажем, что ${\vartriangle A}_1BM$ — равнобедренный. Точка M — середина ребра $B_1C_1.$ Треугольник $A_1B_1C_1$ правильный, $A_1M$ — его медиана и высота.

$\left.\begin{matrix}A_1M\bot B_1C_1\\A_1M\bot {BB}_1\end{matrix}\right\}\Rightarrow A_1M\bot \left({BB}_1C_1\right)\Rightarrow A_1M\bot BM.$

Это стандартная конструкция, с помощью которой в стереометрии доказывается перпендикулярность каких-либо прямых. Пользуясь признакам перпендикулярности прямой и плоскости, показали, что прямая $A_1M$ перпендикулярна плоскости ${BB}_1C_1.$ Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ${BB}_1C_1,$ в том числе прямой ВМ. А это значит, что треугольник $A_1BM$ прямоугольный. Осталось доказать, что его катеты равны.

Поскольку $A_1M\bot \left({BB}_1C_1\right),$ точка M — проекция $A_1$ на плоскость $\left({BB}_1C_1\right).$

По условию, $A_1B\bot B_1C_{\ }.$ По теореме о трех перпендикулярах, $BM\bot B_1C.$

Пусть $AB=BC=a, {BB}_1=h.$

Тогда $B_1M=\frac{a}{2},{\ CB}_1=\sqrt{a^2+h^2},\ \ BM=\sqrt{h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}.$

Перейдем к плоскому чертежу.

Пусть $B_1C\cap BM=K; \angle BKC={90}^{{}^\circ }. \vartriangle B_1MK\sim \vartriangle CBK$ по двум углам.

Запишем соотношение сходственных сторон: $\ \frac{B_1K}{KC}=\frac{MK}{BK}=\frac{B_1M}{BC}=\frac{1}{2}.$

Значит, $KC=\frac{2}{3}\sqrt{a^2+h^2},\ \ \ BK=\frac{2}{3}\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}.$

Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BKC.

${BC}^2={BK}^2+{KC}^2$

$a^2=\frac{4}{9}\left(a^2+h^2+{\frac{a}{4}}^2{+h}^2\right)$

${9a}^2=4\left({2h}^2+{\frac{5a}{4}}^2\right)$

${4a}^2={8h}^2$

$a^2={2h}^2;$

$a=h\sqrt{2};$

Тогда $BM=\sqrt{h^2+{\frac{a}{4}}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=A_1M, \vartriangle A_1MB$ — равнобедренный, $A_1M=BM.$

б) пусть расстояние между $A_1B\$ и $B_1C$ равно 2. Найдём объем призмы.

$\left.\begin{matrix}BM\bot B_1C_1 \\A_1B\bot B_1C\end{matrix}\right\}\Rightarrow\left ( A_1BM \right )\perp B_1C$ по определению перпендикулярности прямой и плоскости.

В плоскости $A_1BM$ проведём $KH\bot A_1B.\ \$ Так как $KH\in \left(A_1BM\right),\ \ \ KH\bot B_1C.$ Мы получили, что отрезок $KH$ перпендикулярен скрещивающимся прямым $A_1B$ и $B_1C.$ Следовательно, длина КН равна расстоянию между этими прямыми. Это вполне стандартный прием для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.

По условию, это расстояние равно 2. Значит, $KH = 2.$

$\vartriangle A_1BM$ — прямоугольный и равнобедренный, $ML=\frac{1}{2}A_1B-\ \$ медиана и высота $\vartriangle A_1MB.$

$\vartriangle KHB\sim \vartriangle MLB, \frac{KH}{ML}=\frac{BK}{BM}=\frac{2}{3},\ \ \ KH=\frac{2}{3}ML=2.$

Получим:

$ML=\frac{3}{2}HK=3,$

$A_1B=2ML=6.$

Из треугольника $AA_1B$ по теореме Пифагора: $A_1B^2=a^2+h^2=a^2+{\frac{a}{2}}^2=36,$

$\frac{{3a}^2}{2}=36;\ a^2=24,\ a=2\sqrt{6},$

$h=\frac{a}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}.\$

Найдем объем призмы:

$V=S_{\vartriangle ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{4\cdot 6\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}{4}=36.$

Ответ: б) 36

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 14, Вариант 2 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 06.03.2023

Задание 14, Вариант 2 — разбор решения задачи

Это полезно