previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14, Вариант 2 — разбор решения задачи

Точка M — середина ребра B_1C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1. Прямые A_1B и B_1C перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник BMA_1 равнобедренный.

б) Найдите объем призмы, если расстояние между прямыми BA_1 и CB_1 равно 2.

Решение:

а) Докажем, что {\vartriangle A}_1BM — равнобедренный. Точка M — середина ребра B_1C_1. Треугольник A_1B_1C_1 правильный, A_1M — его медиана и высота.

\left.\begin{matrix}A_1M\bot B_1C_1\\A_1M\bot {BB}_1\end{matrix}\right\}\Rightarrow A_1M\bot \left({BB}_1C_1\right)\Rightarrow A_1M\bot BM.

Это стандартная конструкция, с помощью которой в стереометрии доказывается перпендикулярность каких-либо прямых. Пользуясь признакам перпендикулярности прямой и плоскости, показали, что прямая A_1M перпендикулярна плоскости {BB}_1C_1. Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости {BB}_1C_1, в том числе прямой ВМ. А это значит, что треугольник A_1BM прямоугольный. Осталось доказать, что его катеты равны.

Поскольку A_1M\bot \left({BB}_1C_1\right), точка M — проекция A_1 на плоскость \left({BB}_1C_1\right).

По условию, A_1B\bot B_1C_{\ }. По теореме о трех перпендикулярах, BM\bot B_1C.

Пусть AB=BC=a, {BB}_1=h.

Тогда B_1M=\frac{a}{2},{\ CB}_1=\sqrt{a^2+h^2},\ \ BM=\sqrt{h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}.

Перейдем к плоскому чертежу.

Пусть B_1C\cap BM=K; \angle BKC={90}^{{}^\circ }. \vartriangle B_1MK\sim \vartriangle CBK по двум углам.

Запишем соотношение сходственных сторон: \ \frac{B_1K}{KC}=\frac{MK}{BK}=\frac{B_1M}{BC}=\frac{1}{2}.

Значит, KC=\frac{2}{3}\sqrt{a^2+h^2},\ \ \ BK=\frac{2}{3}\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}.

Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BKC.

{BC}^2={BK}^2+{KC}^2

a^2=\frac{4}{9}\left(a^2+h^2+{\frac{a}{4}}^2{+h}^2\right)

{9a}^2=4\left({2h}^2+{\frac{5a}{4}}^2\right)

{4a}^2={8h}^2

a^2={2h}^2;

a=h\sqrt{2};

Тогда BM=\sqrt{h^2+{\frac{a}{4}}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=A_1M, \vartriangle A_1MB — равнобедренный, A_1M=BM.

б) пусть расстояние между A_1B\ и B_1C равно 2. Найдём объем призмы.

\left.\begin{matrix}BM\bot B_1C_1 \\A_1B\bot B_1C\end{matrix}\right\}\Rightarrow\left ( A_1BM \right )\perp B_1C по определению перпендикулярности прямой и плоскости.

В плоскости A_1BM проведём KH\bot A_1B.\ \ Так как KH\in \left(A_1BM\right),\ \ \ KH\bot B_1C. Мы получили, что отрезок KH перпендикулярен скрещивающимся прямым A_1B и B_1C. Следовательно, длина КН равна расстоянию между этими прямыми. Это вполне стандартный прием для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.

По условию, это расстояние равно 2. Значит, KH = 2.

\vartriangle A_1BM — прямоугольный и равнобедренный, ML=\frac{1}{2}A_1B-\ \ медиана и высота \vartriangle A_1MB.

\vartriangle KHB\sim \vartriangle MLB, \frac{KH}{ML}=\frac{BK}{BM}=\frac{2}{3},\ \ \ KH=\frac{2}{3}ML=2.

Получим:

ML=\frac{3}{2}HK=3,

A_1B=2ML=6.

Из треугольника AA_1B по теореме Пифагора: A_1B^2=a^2+h^2=a^2+{\frac{a}{2}}^2=36,

\frac{{3a}^2}{2}=36;\ a^2=24,\ a=2\sqrt{6},

h=\frac{a}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}.\

Найдем объем призмы:

V=S_{\vartriangle ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{4\cdot 6\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}{4}=36.

Ответ: б) 36

Смотреть все задачи варианта