previous arrow
next arrow
Slider

Задание 19, Вариант 2 — разбор решения задачи

Задуман набор последовательных (идущих подряд) натуральных чисел, сумма которых больше 231 и меньше 245.

а) Может ли в наборе быть 13 чисел?

б) Может ли в наборе быть 14 чисел?

в) Какое наибольшее количество чисел, которые удовлетворяют заданному условию, может быть задумано?

Решение:

Очевидно, что идущие подряд числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 1.

а) Да, может. Предположим, что в наборе 13 чисел.

a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots ,\ a_{13} — арифметическая прогрессия. По условию, сумма этой прогрессии

Мы помним, что в задачах на числа и их свойства строгие неравенства мы заменяем на нестрогие оценки. Это стандартный прием. Получаем: \ 232\le S_{13}\le 244.

По формуле суммы арифметической прогрессии, S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. Здесь n — количество членов прогрессии.

232\le \frac{2a_1+12}{2}\cdot 13\le 244

154\le 13a_1\le 166

11\frac{9}{13}\le a_1\le 12\frac{10}{13}. У этого неравенства есть целое решение: a_1=12.

Получим арифметическую прогрессию: 12, 13, 14 \dots 24

S_{13}=\frac{12+24}{2}\cdot 13=234.

б) Нет, не может.

Предположим, что n=14. Так же, как и в пункте (а), оценим сумму арифметической прогрессии, содержащей 14 членов.

232\le \frac{2a_1+13}{2}\cdot 14\le 244

10\frac{1}{14}\le a_1\le 10. У этого неравенства нет целых решений. Мы получили противоречие, и значит,

n=14 — не может быть.

в) Найдем n_{max}, то есть наибольшее возможное число членов этой прогрессии. Поскольку случай n=13 возможен, а n=14 — нет, будем рассматривать n\ge 15.

Проверка показывает, что случай n = 15 возможен. Но не будем же мы проверять подряд все числа, большие 15. Нужен критерий, оценка. Запишем, что сумма нашей прогрессии S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n должна быть такой, что 232\le \frac{2a_1+n-1}{2}\cdot n\le 244.

По условию, a_1\ge 1 (числа натуральные). Используем этот факт для оценки n.

\frac{2+n-1}{2}\cdot n\ \le \ \frac{2a_1+n-1}{2}\cdot n\le 244; отсюда \frac{n+1}{2}\cdot n\le 244.

n^2+n-488\le 0.

Да, нам нужно решить это квадратичное неравенство, и мы умеем это делать. Правда, дискриминант уравнения n^2+n-488=0 такой, что целый корень из него не извлекается, D=1953.

Оценим наибольшее возможное n при условии, что n — целое.

Как вообще выглядят решения неравенства вида {ax}^2+bx+c\le 0?

n_{max}\le x_2, где x_2 — больший корень уравнения n^2+n-488=0.

Мы получили, что  Поскольку n — натуральное, n\le 21. Это оценка.

В этой задаче мы пользуемся методом «Оценка плюс пример». И пока мы не привели пример — решение не закончено. Проверим последовательно n = 21, 20, 19 — тем же способом, что в пунктах (а) и (б). Они не подходят!

Что же, проверим n=18. Если n=18, получим, что a_1=5; тогда 

Мы подобрали пример и n_{max}=18.

Ответ:

а) да.

б) нет

в) 18

Смотреть все задачи варианта