Задуман набор последовательных (идущих подряд) натуральных чисел, сумма которых больше 231 и меньше 245.
а) Может ли в наборе быть 13 чисел?
б) Может ли в наборе быть 14 чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел, которые удовлетворяют заданному условию, может быть задумано?
Решение:
Очевидно, что идущие подряд числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 1.
а) Да, может. Предположим, что в наборе 13 чисел.
\(a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots ,\ a_{13}\) — арифметическая прогрессия. По условию, сумма этой прогрессии
Мы помним, что в задачах на числа и их свойства строгие неравенства мы заменяем на нестрогие оценки. Это стандартный прием. Получаем: \(\ 232\le S_{13}\le 244.\)
По формуле суммы арифметической прогрессии, \(S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.\) Здесь \(n\) — количество членов прогрессии.
\(232\le \frac{2a_1+12}{2}\cdot 13\le 244\)
\(154\le 13a_1\le 166\)
\(11\frac{9}{13}\le a_1\le 12\frac{10}{13}.\) У этого неравенства есть целое решение: \(a_1=12.\)
Получим арифметическую прогрессию: \(12, 13, 14 \dots 24\)
\(S_{13}=\frac{12+24}{2}\cdot 13=234.\)
б) Нет, не может.
Предположим, что n=14. Так же, как и в пункте (а), оценим сумму арифметической прогрессии, содержащей 14 членов.
\(232\le \frac{2a_1+13}{2}\cdot 14\le 244\)
\(10\frac{1}{14}\le a_1\le 10.\) У этого неравенства нет целых решений. Мы получили противоречие, и значит,
\(n=14\) — не может быть.
в) Найдем \(n_{max}\), то есть наибольшее возможное число членов этой прогрессии. Поскольку случай \(n=13\) возможен, а \(n=14\) — нет, будем рассматривать \(n\ge 15.\)
Проверка показывает, что случай \(n = 15\) возможен. Но не будем же мы проверять подряд все числа, большие 15. Нужен критерий, оценка. Запишем, что сумма нашей прогрессии \(S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n\) должна быть такой, что \(232\le \frac{2a_1+n-1}{2}\cdot n\le 244.\)
По условию, \(a_1\ge 1\) (числа натуральные). Используем этот факт для оценки \(n.\)
\(\frac{2+n-1}{2}\cdot n\ \le \ \frac{2a_1+n-1}{2}\cdot n\le 244;\) отсюда \(\frac{n+1}{2}\cdot n\le 244.\)
\(n^2+n-488\le 0.\)
Да, нам нужно решить это квадратичное неравенство, и мы умеем это делать. Правда, дискриминант уравнения \(n^2+n-488=0\) такой, что целый корень из него не извлекается, D=1953.
Оценим наибольшее возможное n при условии, что n — целое.
Как вообще выглядят решения неравенства вида \({ax}^2+bx+c\le 0?\)
\(n_{max}\le x_2,\) где \(x_2\) — больший корень уравнения \(n^2+n-488=0.\)
Мы получили, что 
Поскольку n — натуральное, \(n\le 21.\) Это оценка.
В этой задаче мы пользуемся методом «Оценка плюс пример». И пока мы не привели пример — решение не закончено. Проверим последовательно n = 21, 20, 19 — тем же способом, что в пунктах (а) и (б). Они не подходят!
Что же, проверим n=18. Если n=18, получим, что \(a_1=5;\) тогда 
Мы подобрали пример и \(n_{max}=18.\)
Ответ:
а) да.
б) нет
в) 18
