Задуман набор последовательных (идущих подряд) натуральных чисел, сумма которых больше 231 и меньше 245.
а) Может ли в наборе быть 13 чисел?
б) Может ли в наборе быть 14 чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел, которые удовлетворяют заданному условию, может быть задумано?
Решение:
Очевидно, что идущие подряд числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 1.
а) Да, может. Предположим, что в наборе 13 чисел.
— арифметическая прогрессия. По условию, сумма этой прогрессии
Мы помним, что в задачах на числа и их свойства строгие неравенства мы заменяем на нестрогие оценки. Это стандартный прием. Получаем:
По формуле суммы арифметической прогрессии, Здесь
— количество членов прогрессии.
У этого неравенства есть целое решение:
Получим арифметическую прогрессию:
б) Нет, не может.
Предположим, что n=14. Так же, как и в пункте (а), оценим сумму арифметической прогрессии, содержащей 14 членов.
У этого неравенства нет целых решений. Мы получили противоречие, и значит,
— не может быть.
в) Найдем , то есть наибольшее возможное число членов этой прогрессии. Поскольку случай
возможен, а
— нет, будем рассматривать
Проверка показывает, что случай возможен. Но не будем же мы проверять подряд все числа, большие 15. Нужен критерий, оценка. Запишем, что сумма нашей прогрессии
должна быть такой, что
По условию, (числа натуральные). Используем этот факт для оценки
отсюда
Да, нам нужно решить это квадратичное неравенство, и мы умеем это делать. Правда, дискриминант уравнения такой, что целый корень из него не извлекается, D=1953.
Оценим наибольшее возможное n при условии, что n — целое.
Как вообще выглядят решения неравенства вида
где
— больший корень уравнения
Мы получили, что Поскольку n — натуральное,
Это оценка.
В этой задаче мы пользуемся методом «Оценка плюс пример». И пока мы не привели пример — решение не закончено. Проверим последовательно n = 21, 20, 19 — тем же способом, что в пунктах (а) и (б). Они не подходят!
Что же, проверим n=18. Если n=18, получим, что тогда
Мы подобрали пример и
Ответ:
а) да.
б) нет
в) 18
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 19, Вариант 2 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 24.09.2023