Задание 19, Вариант 2 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Задуман набор последовательных (идущих подряд) натуральных чисел, сумма которых больше 231 и меньше 245.

а) Может ли в наборе быть 13 чисел?

б) Может ли в наборе быть 14 чисел?

в) Какое наибольшее количество чисел, которые удовлетворяют заданному условию, может быть задумано?

Решение:

Очевидно, что идущие подряд числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 1.

а) Да, может. Предположим, что в наборе 13 чисел.

$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots ,\ a_{13}$ — арифметическая прогрессия. По условию, сумма этой прогрессии

Мы помним, что в задачах на числа и их свойства строгие неравенства мы заменяем на нестрогие оценки. Это стандартный прием. Получаем: $\ 232\le S_{13}\le 244.$

По формуле суммы арифметической прогрессии, $S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$ Здесь $n$ — количество членов прогрессии.

$232\le \frac{2a_1+12}{2}\cdot 13\le 244$

$154\le 13a_1\le 166$

$11\frac{9}{13}\le a_1\le 12\frac{10}{13}.$ У этого неравенства есть целое решение: $a_1=12.$

Получим арифметическую прогрессию: $12, 13, 14 \dots 24$

$S_{13}=\frac{12+24}{2}\cdot 13=234.$

б) Нет, не может.

Предположим, что n=14. Так же, как и в пункте (а), оценим сумму арифметической прогрессии, содержащей 14 членов.

$232\le \frac{2a_1+13}{2}\cdot 14\le 244$

$10\frac{1}{14}\le a_1\le 10.$ У этого неравенства нет целых решений. Мы получили противоречие, и значит,

$n=14$ — не может быть.

в) Найдем $n_{max}$ , то есть наибольшее возможное число членов этой прогрессии. Поскольку случай $n=13$ возможен, а $n=14$ — нет, будем рассматривать $n\ge 15.$

Проверка показывает, что случай $n = 15$ возможен. Но не будем же мы проверять подряд все числа, большие 15. Нужен критерий, оценка. Запишем, что сумма нашей прогрессии $S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$ должна быть такой, что $232\le \frac{2a_1+n-1}{2}\cdot n\le 244.$

По условию, $a_1\ge 1$ (числа натуральные). Используем этот факт для оценки $n.$

$\frac{2+n-1}{2}\cdot n\ \le \ \frac{2a_1+n-1}{2}\cdot n\le 244;$ отсюда $\frac{n+1}{2}\cdot n\le 244.$

$n^2+n-488\le 0.$

Да, нам нужно решить это квадратичное неравенство, и мы умеем это делать. Правда, дискриминант уравнения $n^2+n-488=0$ такой, что целый корень из него не извлекается, D=1953.

Оценим наибольшее возможное n при условии, что n — целое.

Как вообще выглядят решения неравенства вида ${ax}^2+bx+c\le 0?$

$n_{max}\le x_2,$ где $x_2$ — больший корень уравнения $n^2+n-488=0.$

Мы получили, что Поскольку n — натуральное, $n\le 21.$ Это оценка.

В этой задаче мы пользуемся методом «Оценка плюс пример». И пока мы не привели пример — решение не закончено. Проверим последовательно n = 21, 20, 19 — тем же способом, что в пунктах (а) и (б). Они не подходят!

Что же, проверим n=18. Если n=18, получим, что $a_1=5;$ тогда

Мы подобрали пример и $n_{max}=18.$

Ответ:

а) да.

б) нет

в) 18

Смотреть все задачи варианта

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 19, Вариант 2 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 24.09.2023

Задание 19, Вариант 2 — разбор решения задачи

Это полезно