Авторская задача Найдите все значения параметра , для каждого из которых область значений функции
содержит число 0.
Решение:
Сформулируем условие немного по-другому. Надо найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение. Рассмотрим уравнение
Сделаем замену:
Получим уравнение:
Типичная ошибка, которую в этот момент делают многие старшеклассники, — забывают оценить t и переформулировать условие. Давайте сделаем это.
Очевидно, . Но это не всё. Оценим сначала показатель z = z(x) в выражении
Мы выделили в выражении для
полный квадрат и нашли, что
Тогда
Теперь задача формулируется так:
Найдём, при каких значениях параметра a уравнение имеет хотя бы одно решение на интервале
Если получим, что
— не удовлетворяет условию
По теореме Виета, следовательно, уравнение имеет корни разных знаков. Дискриминант
при всех
Мы получили, что уравнение имеет 2 корня, причем только один из них положителен. Пусть это корень
Нам нужно, чтобы выполнялось условие:
Это условие означает, что
Подставив в уравнение
получим условие для параметра:
Найдём корни уравнения
если
или
Ответ: