previous arrow
next arrow
Slider

Задание 18, Вариант 2 — разбор решения задачи

Авторская задача Найдите все значения параметра a, для каждого из которых область значений функции

y=2^{2x^2-4x}-a\cdot 2^{x^2-2x+1}-a^2

содержит число 0.

Решение:

Сформулируем условие немного по-другому. Надо найти все значения параметра a, при которых уравнение y\left(x\right)=0 имеет хотя бы одно решение. Рассмотрим уравнение

2^{{2x}^2-4x}-a\cdot 2^{x^2-2x+1}-a^2=0.

Сделаем замену: t=2^{x^2-2x}.

Получим уравнение: t^2-2at-a^2=0

Типичная ошибка, которую в этот момент делают многие старшеклассники, — забывают оценить t и переформулировать условие. Давайте сделаем это.

Очевидно, . Но это не всё. Оценим сначала показатель z = z(x) в выражении t=2^{x^2-2x}.

z\left(x\right)=x^2-2x=\ x^2-2x+1-1={\left(x-1\right)}^2-1\ge -1. Мы выделили в выражении для z полный квадрат и нашли, что z\ge -1.

Тогда t=2^z\ge 2^{-1},\ \ \ t\ge \frac{1}{2}.

Теперь задача формулируется так:

Найдём, при каких значениях параметра a уравнение t^2-2at-a^2=0\ имеет хотя бы одно решение на интервале t\ge \frac{1}{2}.

Если a=0,\ получим, что t^2=0, t=0 — не удовлетворяет условию  t\ge \frac{1}{2}.

Значит, a\ne 0 и тогда 

По теореме Виета,  следовательно, уравнение имеет корни разных знаков. Дискриминант  при всех a\ne 0

Мы получили, что уравнение {\ t}^2-2at-a^2=0 имеет 2 корня, причем только один из них положителен. Пусть это корень t_2. Нам нужно, чтобы выполнялось условие: t_2\ge \frac{1}{2}.

Это условие означает, что y\left(\frac{1}{2}\right)\le 0.

Подставив t=\frac{1}{2} в уравнение {\ t}^2-2at-a^2=0, получим условие для параметра:

\frac{1}{4}-a-a^2\le 0;

a^2+a-\frac{1}{4}\ge 0;

{4a}^2+4a-1\ge 0;

Найдём корни уравнения {4a}^2+4a-1=0.

D=16+16=32, \sqrt{D}=4\sqrt{2};

a=\frac{-4\pm 4\sqrt{2}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{2}}{2}

{4a}^2+4a-1\ge 0, если a\ge \frac{\sqrt{2}-1}{2} или a\le \frac{-2-\sqrt{2}}{2}.

Ответ: x\in \left(-\infty ;\ \frac{-2-\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}-1}{2};\ +\infty \right).

Смотреть все задачи варианта