Задание 18, Вариант 2 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача Найдите все значения параметра $a$ , для каждого из которых область значений функции

$y=2^{2x^2-4x}-a\cdot 2^{x^2-2x+1}-a^2$

содержит число 0.

Решение:

Сформулируем условие немного по-другому. Надо найти все значения параметра a, при которых уравнение $y\left(x\right)=0$ имеет хотя бы одно решение. Рассмотрим уравнение

$2^{{2x}^2-4x}-a\cdot 2^{x^2-2x+1}-a^2=0.$

Сделаем замену: $t=2^{x^2-2x}.$

Получим уравнение: $t^2-2at-a^2=0$

Типичная ошибка, которую в этот момент делают многие старшеклассники, — забывают оценить t и переформулировать условие. Давайте сделаем это.

Очевидно, . Но это не всё. Оценим сначала показатель z = z(x) в выражении $t=2^{x^2-2x}.$

$z\left(x\right)=x^2-2x=\ x^2-2x+1-1={\left(x-1\right)}^2-1\ge -1.$ Мы выделили в выражении для $z$ полный квадрат и нашли, что $z\ge -1.$

Тогда $t=2^z\ge 2^{-1},\ \ \ t\ge \frac{1}{2}.$

Теперь задача формулируется так:

Найдём, при каких значениях параметра a уравнение $t^2-2at-a^2=0\$ имеет хотя бы одно решение на интервале $t\ge \frac{1}{2}.$

Если $a=0,\$ получим, что $t^2=0,$ $t=0$ — не удовлетворяет условию $t\ge \frac{1}{2}.$

Значит, $a\ne 0$ и тогда

По теореме Виета, следовательно, уравнение имеет корни разных знаков. Дискриминант при всех $a\ne 0$

Мы получили, что уравнение ${\ t}^2-2at-a^2=0$ имеет 2 корня, причем только один из них положителен. Пусть это корень $t_2.$ Нам нужно, чтобы выполнялось условие: $t_2\ge \frac{1}{2}.$