Задание 18, Вариант 2 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача Найдите все значения параметра $a$ , для каждого из которых область значений функции

$y=2^{2x^2-4x}-a\cdot 2^{x^2-2x+1}-a^2$

содержит число 0.

Решение:

Сформулируем условие немного по-другому. Надо найти все значения параметра a, при которых уравнение $y\left(x\right)=0$ имеет хотя бы одно решение. Рассмотрим уравнение

$2^{{2x}^2-4x}-a\cdot 2^{x^2-2x+1}-a^2=0.$

Сделаем замену: $t=2^{x^2-2x}.$

Получим уравнение: $t^2-2at-a^2=0$

Типичная ошибка, которую в этот момент делают многие старшеклассники, — забывают оценить t и переформулировать условие. Давайте сделаем это.

Очевидно, . Но это не всё. Оценим сначала показатель z = z(x) в выражении $t=2^{x^2-2x}.$

$z\left(x\right)=x^2-2x=\ x^2-2x+1-1={\left(x-1\right)}^2-1\ge -1.$ Мы выделили в выражении для $z$ полный квадрат и нашли, что $z\ge -1.$

Тогда $t=2^z\ge 2^{-1},\ \ \ t\ge \frac{1}{2}.$

Теперь задача формулируется так:

Найдём, при каких значениях параметра a уравнение $t^2-2at-a^2=0\$ имеет хотя бы одно решение на интервале $t\ge \frac{1}{2}.$

Если $a=0,\$ получим, что $t^2=0,$ $t=0$ — не удовлетворяет условию $t\ge \frac{1}{2}.$

Значит, $a\ne 0$ и тогда

По теореме Виета, следовательно, уравнение имеет корни разных знаков. Дискриминант при всех $a\ne 0$

Мы получили, что уравнение ${\ t}^2-2at-a^2=0$ имеет 2 корня, причем только один из них положителен. Пусть это корень $t_2.$ Нам нужно, чтобы выполнялось условие: $t_2\ge \frac{1}{2}.$

Это условие означает, что $y\left(\frac{1}{2}\right)\le 0.$

Подставив $t=\frac{1}{2}$ в уравнение ${\ t}^2-2at-a^2=0,$ получим условие для параметра:

$\frac{1}{4}-a-a^2\le 0;$

$a^2+a-\frac{1}{4}\ge 0;$

${4a}^2+4a-1\ge 0;$

Найдём корни уравнения ${4a}^2+4a-1=0.$

$D=16+16=32, \sqrt{D}=4\sqrt{2};$

$a=\frac{-4\pm 4\sqrt{2}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{2}}{2}$

${4a}^2+4a-1\ge 0,$ если $a\ge \frac{\sqrt{2}-1}{2}$ или $a\le \frac{-2-\sqrt{2}}{2}.$

Ответ: $x\in \left(-\infty ;\ \frac{-2-\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}-1}{2};\ +\infty \right).$

Смотреть все задачи варианта

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 18, Вариант 2 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 12.03.2023

Задание 18, Вариант 2 — разбор решения задачи

Это полезно