Найдите объем шара, вписанного в конус объемом 36, если осевое сечение конуса является равносторонним треугольником.
Решение:
Очевидно, что центр шара — точка Р — лежит на оси конуса SO. Изобразим осевое сечение конуса, в который вписан шар.
Объем конуса равен \(\frac{1}{3}\pi R^2\cdot h\), где R — радиус основания конуса, h — его высота.
В прямоугольном треугольнике ASO угол SАO равен \(60{}^\circ.\) Следовательно, его гипотенуза SO в \(\sqrt{3}\) раз больше катета АО. Радиус основания конуса АО = R, тогда SO = h = \(\sqrt{3}\ R.\) Получим:
\(\frac{1}{3}\pi\cdot R^3\cdot \sqrt{3}=36.\)
Выразим из этой формулы \(R^3.\)
\(R^3=\frac{36\cdot 3}{\sqrt{3}\cdot \pi}=\frac{36\sqrt{3}}{\pi}\)
Радиус шара r, вписанного в конус, равен длине отрезка ОР. Треугольник АВС — правильный, поэтому \(r=\frac{1}{3}h=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}.\) Тогда
\(r^3=R^3\cdot \frac{3\sqrt{3}}{27}=\frac{R^3\sqrt{3}}{9}=\frac{36\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{9\pi}=\frac{4\cdot 3}{\pi}\)
Объем шара 
Ответ: 16.
