previous arrow
next arrow
Slider

Задание 8, Вариант 2 — разбор решения задачи

Найдите объем шара, вписанного в конус объемом 36, если осевое сечение конуса является равносторонним треугольником.

Решение:

Очевидно, что центр шара — точка Р — лежит на оси конуса SO. Изобразим осевое сечение конуса, в который вписан шар.

Объем конуса равен \frac{1}{3}\pi R^2\cdot h, где R — радиус основания конуса, h — его высота.

В прямоугольном треугольнике ASO угол SАO равен 60{}^\circ. Следовательно, его гипотенуза SO в \sqrt{3} раз больше катета АО. Радиус основания конуса АО = R, тогда SO = h = \sqrt{3}\ R. Получим:

\frac{1}{3}\pi\cdot R^3\cdot \sqrt{3}=36.

Выразим из этой формулы R^3.

R^3=\frac{36\cdot 3}{\sqrt{3}\cdot \pi}=\frac{36\sqrt{3}}{\pi}

Радиус шара r, вписанного в конус, равен длине отрезка ОР. Треугольник АВС — правильный, поэтому r=\frac{1}{3}h=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}. Тогда

r^3=R^3\cdot \frac{3\sqrt{3}}{27}=\frac{R^3\sqrt{3}}{9}=\frac{36\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{9\pi}=\frac{4\cdot 3}{\pi}

Объем шара 

Ответ: 16.

Смотреть все задачи варианта