previous arrow
next arrow
Slider

Задание 15, Вариант 2 — разбор решения задачи

Авторская задача

Решите неравенство:

\sqrt{7+{\sqrt{2}}^x}\ge 7-2^{\frac{x}{2}+1}

Решение:

Сделаем замену 

Получим: \sqrt{7+t}\ge 7-2t.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Мы получили, что 2^{\frac{x}{2}}\ge 2,\ \ \ \ \frac{x}{2}\ge 1.\ \

Значит, \ x\ge 2.\ Это ответ.

Теперь подробно о каждом действии.

Посмотрим на неравенство \sqrt{7+t}\ge 7-2t. Область его допустимых значений: 7+t\ge 0

В левой его части — квадратный корень, величина неотрицательная. А вот правая часть может быть и больше нуля, и меньше, и равна нулю. Значит, возможны два случая:

1) Если правая часть неравенства тоже неотрицательна, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Получим систему:

\genfrac{}{}{0pt}{}{\left\{ \begin{array}{c}7+t\ge {\left(7-2t\right)}^2 \\\begin{array}{c}7-2t\ge 0 \\7+t\ge 0 \end{array}\end{array}\right.}{\ }.

2) Если правая часть неравенства отрицательна, то неравенство выполняется для всех х, принадлежащих ОДЗ.

Получим:

Вот откуда в решении взялась совокупность двух систем.

Квадратичное неравенство из первой системы решаем стандартным способом. Находим корни уравнения

{4t}^2-29t+42=0.

Его дискриминант D={29}^2-16\cdot 42=841-672=169,\ корни t=\frac{29\pm 13}{8};

t_1=\frac{21}{4},\ t_2=2.

Объединяем решения обоих систем на числовой прямой.

Получаем, что t \ge 2,\ значит, x\ge 2.

Ответ: x\in \left[2;\ +\infty \right).

Смотреть все задачи варианта