Авторская задача.
Дано уравнение
\( {sin 2x\ }={sin (x-\frac{\pi}{2})\ }+{cos \frac{\pi}{2}{sin \frac{\pi}{3}\ }\ } \)
а) решить уравнение
б) найти все его решения на отрезке \([\pi; 3\pi]\)
Решение:
а) \({sin 2x\ }={sin (x-\frac{\pi}{2})\ }+{cos \frac{\pi}{2}{sin \frac{\pi}{3}\ }\ }\)
Упростим выражение \( {sin (x-\frac{\pi}{2})\ }\) по формуле приведения. Получим: \({sin (x-\frac{\pi}{2})\ }=cosx. \)
Заметим, что \( {cos \frac{\pi}{2}=0\ }\).
Уравнение примет вид:
\( 2sinxcosx+cosx=0 \)
С помощью тригонометрического круга найдем серии решений.
Ответ: а) \(x_1=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in Z\)
\( x_2=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \)
\( x_3=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n \)
б) найдем все решения уравнения на отрезке \([\pi; 3\pi]\)
Отметим на тригонометрическом круге отрезок \(\left[\pi ;{\rm 3}\pi \right]{\rm \ }\) и найденные серии решений. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2};\frac{11\pi}{6};\frac{5\pi}{2}.\)
Ответ:\( \frac{7\pi}{6};\frac{3\pi}{2};\frac{11\pi}{6};\frac{5\pi}{2}.\)
