В правильной треугольной призме сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах
и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём
, а
. Плоскость
пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости .
Решение:
Построим сечение призмы плоскостью .
Проведём Q в плоскости ABC, точка М лежит на ребре BC.
Мы пользуемся здесь тем, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Трапеция - искомое сечение.
а) Покажем, что М — середина ВС.
Пусть — проекция точки Р на плоскость
. Тогда
Пусть ВМ = x, (по двум углам)
;
Отсюда x = 6 и М — середина ВС.
б) Найдем расстояние от точки В до плоскости , пользуясь методом объемов.
Выразим двумя способами объем треугольной пирамиды
, где
расстояние от точки
до плоскости QMB, то есть до плоскости основания призмы.
Оно равно высоте призмы, то есть .
— искомое расстояние от точки В до плоскости
Из по теореме косинусов:
Из
Точка М — середина ВС,
Из прямоугольного треугольника найдем
Рассмотрим треугольник в котором мы знаем все стороны.
По теореме косинусов:
Тогда
Объем пирамиды
Отсюда
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 14, Вариант 1 — разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 29.09.2023