В правильной треугольной призме \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах \(B_{1}C_{1}\) и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём \(PC_{1}=3\), а \(AQ=4\). Плоскость \(A_{1}PQ\) пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости \(A_{1}PQ\).
Решение:
Построим сечение призмы плоскостью \(A_1PQ\).
Проведём Q\(M \parallel {\ A}_1P\) в плоскости ABC, точка М лежит на ребре BC.
Мы пользуемся здесь тем, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Трапеция \(QMPA_{1}\) - искомое сечение.
а) Покажем, что М — середина ВС.
Пусть \(P_1\) — проекция точки Р на плоскость \(ABC, P_1C=3\). Тогда \(AP_1 \parallel A_1P\)
Пусть ВМ = x, \(\triangle QBM \sim \triangle ABP_1\) (по двум углам)
\(\frac{BQ}{AB}=\frac{BM}{{BP}_1}\); \(\frac{8}{12}=\frac{x}{9}\)
Отсюда x = 6 и М — середина ВС.
б) Найдем расстояние от точки В до плоскости \(A_1PQ\), пользуясь методом объемов.
Выразим двумя способами объем треугольной пирамиды \(A_1QMB.\)
\(V_{A_{1}QMB}=\frac{1}{3}S_{\triangle QMB} \cdot h_1=\frac{1}{3}S_{\triangle A_1QM} \cdot h_2\), где \(h_1-\) расстояние от точки \(A_{1}\) до плоскости QMB, то есть до плоскости основания призмы.
Оно равно высоте призмы, то есть \(h_1=2\).
\(h_2\) — искомое расстояние от точки В до плоскости \(A_1QM.\)
\(S_{\triangle {\rm \ QMB}}=\frac{1}{2}\cdot BQ\cdot BM\cdot sin60^{\circ} =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}; \)
Из \(\ \triangle {\rm \ }QMB\ \) по теореме косинусов:
\({QM}^2={BQ}^2+{BM}^2-2BQ\cdot BM\cdot cos60^{\circ} , \)
\({QM}^2=64+36-2\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=100-38=52 \)
\(QM=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)
Из \(\ \triangle {\rm \ }AA_1Q:\)
\(A_1Q=\sqrt{{AQ}^2+{AA_1}^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}.
\)
Точка М — середина ВС, \(AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.\)
Из прямоугольного треугольника \({{A}}_{{1}}AM\) найдем \(A_1M = 4\sqrt{7}.\)
Рассмотрим треугольник \(A_1QM,\) в котором мы знаем все стороны.
По теореме косинусов:
\({A_1Q}^2={A_1M}^2+{QM}^2-2QM\cdot A_1M\cdot cos\angle A_1MQ,\)
\(20= 112+52 - 2\cdot 8\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{13}\cdot cos\angle A_1MQ \)
\(cos\angle A_1MQ=\frac{9}{\sqrt{91}} \)
Тогда \(sin\angle A_1MQ=\sqrt{\frac{10}{91}}\)
\(S_{\triangle {\rm \ }A_1QM}=\frac{1}{2}\ QM\cdot A_1M\cdot sin\angle A_1MQ=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{13}\cdot 4\sqrt{7}\cdot \sqrt{\frac{10}{91}}=4\sqrt{10} \)
Объем пирамиды \(A_1QBM\)
\(V_{A_1QBM}=\frac{1}{3}S_{\triangle QBM}\cdot AA_1=\frac{1}{3}S_{A_1QM}\cdot h_2\)
Отсюда
\(h_2=\frac{S_{\triangle QBM}\cdot AA_1}{S_{A_1QM}}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 2}{4\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{30}}{5}.\)
