Плоскость \(\alpha \) перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны АВ и ВС основания пополам.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha \) делит боковое ребро в отношении 1:3, считая от вершины S.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость \(\alpha \) разбивает пирамиду.
Решение:
а) Пусть точка M — середина BC, N — середина AB, K — середина MN, H — середина AC.
Треугольник АВС правильный, значит, ВН — его медиана и высота, \(K\in BH.\)
В плоскости SHB проведем \(KL\parallel SO\) , точка L лежит на ребре SB. тогда \(KL\bot \left(ABC\right).\)
Плоскость LMN содержит перпендикуляр KL к плоскости АВС. По признаку перпендикулярности плоскостей, \((LMN)\bot (ABC)\).
\(\vartriangle LMN\) — искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha \), проходящей через точки \(L,\ M\\) и \(\ N.\)
Докажем, что точка L делит ребро BS в отношении 1:3, считая от вершины S.
Рассмотрим \(\vartriangle BOS\). Точка О — проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Она является центром правильного треугольника АВС и точкой пересечения его медиан. По свойству медиан, \(BO=\frac{2}{3}BH\). С другой стороны, \(BK=\frac{1}{2}BH;\)
\(\vartriangle BOS \sim \vartriangle BKL\) по двум углам; \(\frac{BK}{BO}=\frac{BL}{BS}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}.\ \)
Получили, что \(BL=\frac{3}{4}BS\) , \(\ \ LS=\frac{1}{4}BS\); \(\ LS \)\(:BL\ =1\ :3\), что и требовалось доказать.
б) Найдём \(V_{BNML}\).
\( MN\ \) — средняя линия треугольника АВС.
\(\vartriangle BNM\sim \vartriangle ABC\) по двум углам, \( k=\frac{1}{2}\). Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, и \(S_{\vartriangle BNM}=\frac{1}{4}S_{\vartriangle ABC}.\)
\(LK\) — высота пирамиды \(BNML\),
\(LK=\frac{3}{4}SO\) (из подобия \(\vartriangle BLK\) и \(\vartriangle BSO\));
\(V_{BNML}=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{16}V_{SABC}. \)
Значит, отношение объемов частей, на которые плоскость \(\alpha \) делит пирамиду, равно \(3:13.\)
Ответ: 3 : 13.
