Основанием прямой треугольной призмы \({ABCA}{}_{1}\) \({B}{}_{1}\) \({C}{}_{1}\) является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые \({CA}{}_{1}\) и \({AB}{}_{1}\) перпендикулярны.
а) Докажите, что\(AA_1=AC.\)
б) Найдите расстояние между прямыми \({CA}{}_{1}\) и \({AB}{}_{1}\), если \({AC}=6\),\({BC}=3\).
Решение:
а) Докажем, что \({AA}_1=AC.\)
По условию,
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Мы получили, что точка \(C_1\) — проекция точки \(B_1\) на \(\left({AA}_1C_1\right)\) и прямая \( {AC}_1\ \) — проекция наклонной\( {AB}_{1\ }\) на \(\left({AA}_1C_1\right).\ \)
По условию, \({CA}_1\bot {AB}_1.\)
Следовательно, \({CA}_1\bot {AC}_1\) по теореме о трёх перпендикулярах.
Тогда \({AA}_1C_1C\) — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны. Значит, \({AA}_1C_1C\) — квадрат, \({AA}_1=AC.\)
б) Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми
\({CA}{}_{1}\) и \({AB}{}_{1}\), если \(AC=6,BC=3.\)
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Тогда \(\vartriangle AB_1C_1\) — прямоугольный.
Пусть M — середина \({AC}_1\).
В плоскости \( {AB}_1C_1\ \) проведём через точку М прямую \(MH\bot {AB}_1\).
Кроме того, \(MH\bot {CA}_1\), т.к. \({CA}_1\bot \left({AB}_1C_1\right);MH\in \left({AB}_1C_1\right).\)
Значит, МН — общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым \({AB}_1\) и \({CA}_1\) и длина МН равна расстоянию между этими прямыми.
Найдем МН.
В прямоугольном треугольнике \(AB_1C_1\) проведем высоту \(C_1E\). Треугольники АНМ и \({AB}_1C_1\ \) подобны по двум углам, поэтому \(MH\parallel C_1E,\ MH=\ \frac{1}{2}C_1E. \)
Найдём \(C_1E\) — высоту треугольника \({AB}_1C_{1.}\)
\({AC}_1=6\sqrt{2}\) — как диагональ квадрата
\({AA}_1C_1C, \) сторона которого равна 6.
\(AB=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}\) — как гипотенуза прямоугольного треугольника АВС,
\({AB}_1=\sqrt{45+36}=9\) — как гипотенуза прямоугольного треугольника \({ABB}_1.\)
\(S_{\vartriangle AB_1C_1}=\frac{1}{2}{AC}_1\cdot {CB}_1=\frac{1}{2}{AB}_1\cdot C_1E\).
Отсюда \(C_1E=\frac{{AC}_1\cdot B_1C_1}{{AB}_1}=\frac{6\sqrt{9}\cdot 3}{9}=2\sqrt{2} \) \({\rm MH}{\rm =}\frac{1}{2}C_1E=\sqrt{2} \)
Ответ: \(\sqrt{2} \)
