Маттренинги Вариант 5

Часть 1. Задания с кратким ответом.

1. По данным Мониторинга качества приема в вузы России¹ на «бюджетные» места в вузы в 2018 году зачислена 291 тыс. чел., на платные — 200 тыс. чел. Сколько процентов составляла доля «бюджетных» мест от общего приема в вузы? Ответ округлите до десятых долей процента.

Посмотреть решение

2. На диаграмме показано распределение всех зачисленных на бюджетные и платные места по группам направлений (по данным упомянутого выше мониторинга). Сколько тысяч выпускников поступили в 2018 году на социально-экономические направления?

Посмотреть решение

3. Авторская задача. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник ABCDEF, если абсцисса точки А равна 1, абсцисса точки D равна $1\ +\ 2\sqrt{3}$ , ординаты точек А и D равны.

Посмотреть решение

4. Для поступления в университет на «бюджетное» отделение необходимо набрать не менее 80 баллов по каждому из трех предметов: русский, математика, физика (специальность «Строительство») или русский, математика, английский (специальность «Туризм»).

Василий готовится к ЕГЭ по математике, физике, русскому и английскому. Написав несколько пробных ЕГЭ по каждому предмету, Василий выяснил, что получает по математике и русскому языку не менее 80 баллов с вероятностью 0,8. По английскому языку вероятность получить не менее 80 баллов равна 0,4. По физике Василий получает на пробных ЕГЭ выше 80 баллов с вероятностью 0,9.

С какой вероятностью Василий сможет поступить на «бюджет» хотя бы на одну из выбранных специальностей?

Посмотреть решение

5. Решите уравнение: ${log}_2(x^2-6)=\ {log}_2x$

В ответ запишите меньший корень.

Посмотреть решение

6. Авторская задача. Окружность вписана в прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = 7 см и АС = 24 см. Найдите радиус окружности. Ответ выразите в сантиметрах.

Посмотреть решение

7. На рисунке изображен график $y=f$ — производной функции $y = f(x)$ . Сколько точек экстремума функции $y = f(x)$ расположено на отрезке [-4; 2] ?

Посмотреть решение

8. Найдите объем пирамиды SCBE, являющейся частью правильной пирамиды SABCD, если ребро основания АВ = 4 и боковое ребро ${\rm SA}\ =\ 2\sqrt{11}$ , точка Е — середина АВ.

Посмотреть решение

9. Найдите значение выражения: $\frac{{\left(\sqrt{3}a\right)}^2\sqrt[5]{a^3}}{a^{2,6}}$ при

Посмотреть решение

10. В электрическом обогревателе с неизменным сопротивлением R нагревательного элемента, через который течёт постоянный ток, за время t выделяется количество теплоты $Q=I^2Rt$ . Во сколько раз увеличится количество выделяемой теплоты, если силу тока I и время работы обогревателя t увеличить вдвое?

Посмотреть решение

11. Авторская задача. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?

Посмотреть решение

12. Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x}{x^2+676}$ .

Посмотреть решение

Часть 2. Задания с развернутым ответом.

13. Дано уравнение $|sin\ x|\ =\ cos\ x$

а) Решите уравнение.

б) Найдите все корни уравнения на интервале $[0;\ 2 \pi].$

Посмотреть решение

14. Основанием прямой треугольной призмы ${ABCA}{}_{1}$ ${B}{}_{1}$ ${C}{}_{1}$ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые ${CA}{}_{1}$ и ${AB}{}_{1}$ перпендикулярны.

а) Докажите, что $AA_1=AC.$

б) Найдите расстояние между прямыми ${CA}{}_{1}$ и ${AB}{}_{1}$ , если ${AC}=6$ , ${BC}=3$ .

Посмотреть решение

15. Решите неравенство:

$\frac{{log}_{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{x^{15}}\right)-2}{{log}_{125}x^{12}}\le 4-\frac{7}{{log}_x5}$

Посмотреть решение

16. Авторская задача Две окружности пересекаются в точках M и N и касаются прямой р в точках А и В соответственно. Прямая MN пересекает отрезок АВ в точке К.

а) Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN.

б) Найдите АК, если расстояние между центрами окружностей равно 17, а их радиусы равны 20 и 5.

Посмотреть решение

17. При изготовлении n единиц товара в месяц расходы фирмы на выпуск одной единицы товара составляют не менее $\frac{{\rm 13500}}{n}\ +90-|30-\frac{{\rm 13500}}{n}|$ тыс. рублей, а цена реализации каждой единицы товара не превосходит $180-0,1n\ \$ тыс. рублей, причем производство является прибыльным. При каком объеме производства (в единицах товара в месяц) фирма может получить наибольшую прибыль?

Посмотреть решение

18 Авторская задача. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение ${\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ }$ имеет единственное решение на отрезке $[0; \frac{\pi }{{\rm 2}}]$ .

Посмотреть решение

19. На доске написаны 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?

б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?

в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.

Посмотреть решение

Посмотреть ответы к задачам 1-12 Посмотреть видеоразбор

¹Мониторинг проводился ВШЭ, при участии Министерства просвещения РФ, Рособрнадзора, а также компании Яндекс: https://ege.hse.ru/stata_2018_all

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Маттренинги Вариант 5» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 16.03.2023

Это полезно