previous arrow
next arrow
Slider

Задание 16, Вариант 5 — разбор решения задачи

Авторская задача Две окружности пересекаются в точках M и N и касаются прямой р в точках А и В соответственно. Прямая MN пересекает отрезок АВ в точке К.

а) Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN.

б) Найдите АК, если расстояние между центрами окружностей равно 17, а их радиусы равны 20 и 5.

Решение:

а) Докажем, что точка K — середина AB. Это будет означать, что MK — медиана треугольника ABM и что точка пересечения медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN.

По теореме о секущей и касательной,

\genfrac{}{}{0pt}{}{{KB}^2=KM\cdot KN}{{AK}^2=KM\cdot KN}\Rightarrow KB=AK, что и требовалось доказать.

б) Найдём длину AК. Очевидно, AK=\frac{AB}{2}.

Проведём O_2E\parallel AB.

O_1A\bot AB,\ {\ O}_2B\bot AB\Rightarrow O_1A\parallel O_2B;\ ABO_2E\ — прямоугольник, \ O_2E=AB.

O_1E=O_1A-EA=O_1A-O_2B=20-5=15.

Рассмотрим \vartriangle O_{1} O_{2} E , \angle E=90^{\circ}. По теореме Пифагора,\ O_2E=\sqrt{O_1{O_2}^2-O_1E^2}=\sqrt{{17}^2-{15}^2}=8.

Значит,AB=8,AK=\frac{AB}{2}=4.

Ответ: 4.

Смотреть все задачи варианта