Задание 16, Вариант 5 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача Две окружности пересекаются в точках M и N и касаются прямой р в точках А и В соответственно. Прямая MN пересекает отрезок АВ в точке К.

а) Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN.

б) Найдите АК, если расстояние между центрами окружностей равно 17, а их радиусы равны 20 и 5.

Решение:

а) Докажем, что точка K — середина AB. Это будет означать, что MK — медиана треугольника ABM и что точка пересечения медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN.

По теореме о секущей и касательной,

$\genfrac{}{}{0pt}{}{{KB}^2=KM\cdot KN}{{AK}^2=KM\cdot KN}\Rightarrow KB=AK$ , что и требовалось доказать.

б) Найдём длину AК. Очевидно, $AK=\frac{AB}{2}.$

Проведём $O_2E\parallel AB.$

$O_1A\bot AB,\ {\ O}_2B\bot AB\Rightarrow O_1A\parallel O_2B;\ ABO_2E\$ — прямоугольник, $\ O_2E=AB.$

$O_1E=O_1A-EA=O_1A-O_2B=20-5=15.$

Рассмотрим $\vartriangle O_{1} O_{2} E$ , $\angle E=90^{\circ}.$ По теореме Пифагора, $\ O_2E=\sqrt{O_1{O_2}^2-O_1E^2}=\sqrt{{17}^2-{15}^2}=8.$

Значит, $AB=8$ , $AK=\frac{AB}{2}=4.$

Ответ: 4.

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 16, Вариант 5 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 24.09.2023

Задание 16, Вариант 5 — разбор решения задачи

Это полезно