Задание 17, Вариант 5 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

При изготовлении n единиц товара в месяц расходы фирмы на выпуск одной единицы товара составляют не менее $\frac{{\rm 13500}}{n}\ +90-|30-\frac{{\rm 13500}}{n}|$ тыс. рублей, а цена реализации каждой единицы товара не превосходит $180-0,1n\ \$ тыс. рублей, причем производство является прибыльным. При каком объеме производства (в единицах товара в месяц) фирма может получить наибольшую прибыль?

Решение:

Пусть $Z(n)$ — зависимость расходов фирмы на выпуск одной единицы товара от количества выпущенных единиц товара в месяц, $Z\ge \frac{13500}{n}+90-\left|30-\frac{13500}{n}\right|\ \$ тыс. руб.

Цена реализации одной единицы товара $p\le 180-0,1n$ тыс. руб.

Прибыль от реализации n единиц товара равна:

$y(n)=n\left(p-z\right)=n\left(180-0,1n-\frac{13500}{n}-90+\left|30-\frac{13500}{n}\right|\right)$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1) $30-\frac{13500}{n}\ge 0;$ тогда $\frac{13500}{n}\le 30;\ n\ge 450.$

В этом случае

$y\left(n\right)=n\left(180-0,1n-\frac{27000}{n}-60\right)=-\frac{1}{10}n^2+120n-27000.$ График этой функции — квадратичная парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы при $n=600.\$

Напомним, что координаты вершины параболы $y=ax^2+\ bx\ +\ c\ \$ находятся по формуле: $x_0=-\frac{b}{2a}$ , $y_0=y(x_0)$ .

Очевидно, для вершины параболы условие $n\ge 450$ выполняется.

2) тогда

$y(n)=n\left(180-0,1n-120\right)=-\frac{1}{10}n^2+60n$

Снова квадратичная парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы при $n=300.$

При этом $n=300 \textless 450$ .

Сравним значения функции

$y(n)=n\left(p-z\right)=n\left(180-0,1n-\frac{13500}{n}-90+\left|30-\frac{13500}{n}\right|\right)$

при $n=600\$ и при $n=300$ .

Если $n=600,\ \$ то

$y\left(600\right)=-\frac{{600}^2}{10}+120\ \cdot 600-27000=9000,$

Если $n=300,\ \$ то

$y\left(300\right)=-\frac{{300}^2}{10}+60\ \cdot 300=9000=y\left(600\right).\$

Значения прибыли при $n=600$ и при $n=300$ равны. Подходят оба ответа.

Ответ: 300 или 600.

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 17, Вариант 5 — разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 28.09.2023

Задание 17, Вариант 5 — разбор решения задачи

Это полезно