previous arrow
next arrow
Slider

Задание 17, Вариант 5 — разбор решения задачи

При изготовлении n единиц товара в месяц расходы фирмы на выпуск одной единицы товара составляют не менее \frac{{\rm 13500}}{n}\ +90-|30-\frac{{\rm 13500}}{n}| тыс. рублей, а цена реализации каждой единицы товара не превосходит 180-0,1n\ \ тыс. рублей, причем производство является прибыльным. При каком объеме производства (в единицах товара в месяц) фирма может получить наибольшую прибыль?

Решение:

Пусть Z(n) — зависимость расходов фирмы на выпуск одной единицы товара от количества выпущенных единиц товара в месяц, Z\ge \frac{13500}{n}+90-\left|30-\frac{13500}{n}\right|\ \ тыс. руб.

Цена реализации одной единицы товара p\le 180-0,1n тыс. руб.

Прибыль от реализации n единиц товара равна:

y(n)=n\left(p-z\right)=n\left(180-0,1n-\frac{13500}{n}-90+\left|30-\frac{13500}{n}\right|\right)

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1) 30-\frac{13500}{n}\ge 0; тогда \frac{13500}{n}\le 30;\ n\ge 450.

В этом случае

y\left(n\right)=n\left(180-0,1n-\frac{27000}{n}-60\right)=-\frac{1}{10}n^2+120n-27000. График этой функции — квадратичная парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы при n=600.\

Напомним, что координаты вершины параболы y=ax^2+\ bx\ +\ c\ \ находятся по формуле: x_0=-\frac{b}{2a},y_0=y(x_0).

Очевидно, для вершины параболы условие n\ge 450 выполняется.

2)  тогда 

y(n)=n\left(180-0,1n-120\right)=-\frac{1}{10}n^2+60n

Снова квадратичная парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы при n=300.

При этом n=300 \textless 450.

Сравним значения функции

y(n)=n\left(p-z\right)=n\left(180-0,1n-\frac{13500}{n}-90+\left|30-\frac{13500}{n}\right|\right)

при n=600\ и при n=300.

Если n=600,\ \ то

y\left(600\right)=-\frac{{600}^2}{10}+120\ \cdot 600-27000=9000,

Если n=300,\ \ то

y\left(300\right)=-\frac{{300}^2}{10}+60\ \cdot 300=9000=y\left(600\right).\

Значения прибыли при n=600 и при n=300 равны. Подходят оба ответа.

Ответ: 300 или 600.

Смотреть все задачи варианта