При изготовлении n единиц товара в месяц расходы фирмы на выпуск одной единицы товара составляют не менее \(\frac{{\rm 13500}}{n}\ +90-|30-\frac{{\rm 13500}}{n}|\) тыс. рублей, а цена реализации каждой единицы товара не превосходит \(180-0,1n\ \ \) тыс. рублей, причем производство является прибыльным. При каком объеме производства (в единицах товара в месяц) фирма может получить наибольшую прибыль?
Решение:
Пусть \(Z(n)\) — зависимость расходов фирмы на выпуск одной единицы товара от количества выпущенных единиц товара в месяц, \(Z\ge \frac{13500}{n}+90-\left|30-\frac{13500}{n}\right|\ \ \) тыс. руб.
Цена реализации одной единицы товара \(p\le 180-0,1n \) тыс. руб.
Прибыль от реализации n единиц товара равна:
\(y(n)=n\left(p-z\right)=n\left(180-0,1n-\frac{13500}{n}-90+\left|30-\frac{13500}{n}\right|\right) \)
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1) \(30-\frac{13500}{n}\ge 0;\) тогда \(\frac{13500}{n}\le 30;\ n\ge 450. \)
В этом случае
\(y\left(n\right)=n\left(180-0,1n-\frac{27000}{n}-60\right)=-\frac{1}{10}n^2+120n-27000.\) График этой функции — квадратичная парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы при \(n=600.\ \)
Напомним, что координаты вершины параболы \(y=ax^2+\ bx\ +\ c\ \ \) находятся по формуле: \(x_0=-\frac{b}{2a}\),\( y_0=y(x_0)\).
Очевидно, для вершины параболы условие \(n\ge 450\) выполняется.
\(y(n)=n\left(180-0,1n-120\right)=-\frac{1}{10}n^2+60n \)
Снова квадратичная парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы при \(n=300.\)
При этом \(n=300 \textless 450\).
Сравним значения функции
\(y(n)=n\left(p-z\right)=n\left(180-0,1n-\frac{13500}{n}-90+\left|30-\frac{13500}{n}\right|\right)\)
при \(n=600\ \) и при \(n=300\).
Если \( n=600,\ \ \) то
\( y\left(600\right)=-\frac{{600}^2}{10}+120\ \cdot 600-27000=9000,\)
Если \( n=300,\ \ \) то
\(y\left(300\right)=-\frac{{300}^2}{10}+60\ \cdot 300=9000=y\left(600\right).\ \)
Значения прибыли при \(n=600\) и при \(n=300\) равны. Подходят оба ответа.
Ответ: 300 или 600.