Авторская задача. Окружность вписана в прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = 7 см и АС = 24 см. Найдите радиус окружности. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение:
По теореме Пифагора, гипотенуза АВ равна \(\sqrt{7^2+24^2}=25\) см.
Заметим, что этот длины сторон треугольника образуют одну из Пифагоровых троек. Так называются упорядоченные тройки натуральных чисел a, b, c, удовлетворяющие уравнению \(a^2 + b^2 = c^2\).
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются несколько таких троек:
3; 4; 5
5; 12; 13
7; 24; 25
8; 15; 17
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, найдем по формуле \(r=\frac{a+b-c}{2},\ \) где \(a=7 \) и \(b=24\) — катеты, \(c=25\) — гипотенуза.
Получим:
\(r\ =\frac{7+24-25}{2}=3\) см.
Ответ: 3
