Задание 18, Вариант 5 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение ${\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ }$ имеет единственное решение на отрезке $[0; \frac{\pi }{{\rm 2}}]$ .

Решение:
${\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ }$

Один из способов решения таких уравнений — метод введения дополнительного угла. Разделим обе части уравнения на 2.

$\frac{1}{2}sint+\frac{\sqrt{3}}{2}cost=\frac{a}{2}$

Заметим, что

$\frac{1}{2}=cos\frac{\pi}{3};\ \frac{\sqrt{3}}{2}=sin\frac{\pi}{3}.$
Получим:

$cos\frac{\pi}{3}sint+sin\frac{\pi}{3}cost=\frac{\alpha}{2}$ .

По формуле синуса суммы,

$sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\alpha}{2}$

Сделаем замену: $x=cost,\ y=sint.$

Такая замена бывает удобна при решении тригонометрических уравнений с параметром. Очевидно, что $x^2+y^2=1$ , поскольку ${cos}^2t+{sin}^2t=1.\$

Если t принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi }{{\rm 2}}]$ , то $cost\ge 0\$ и $sint\ge 0$ . Это значит, что $x\ge 0\$ и $y\ge 0.$

Получим систему:

$\left\{ \begin{array}{c}y+\sqrt{3}x=a \\x^2+y^2=1 \\x\ge 0 \\y\ge 0\ \end{array}\right.$

Решим систему графически.

Первое уравнение $y=-\sqrt{3}x+a$ задает прямую с угловым коэффициентом $k=-\sqrt{3}$ , пересекающую ось OY в точке с координатами $(0; a).$

Остальные три условия задают дугу окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Найдем, при каких значениях параметра система имеет единственное решение.

Прямая $y=-\sqrt{3}x+a$ — проходит через точку $B\left(0;1\right)$ или выше точки B и при этом ниже точки $A\left(1;0\right).$

Подставим координаты точки $B\left(0;1\right)$ в уравнение прямой $y=-\sqrt{3}x+a.$

Для точки $B\left(0;1\right)$ получим значение параметра: $\ a=1.$

Подставим координаты точки $A\left(1;0\right)$ в уравнение прямой $y=-\sqrt{3}x+a.$

Для точки $A\left(1;0\right)$ получим: $a=\sqrt{3}.$

Значит, при $a\in \left[1;\left.\sqrt{3}\right)\right.$ уравнение ${\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ }$ имеет единственное решение на отрезке $[0; \frac{\pi }{{\rm 2}}].$

2) Единственное решение будет также в случае касания окружности $x^2+y^2=1\$ и прямой $y=-\sqrt{3}x+a$ в точке C.

Пусть прямая $y=-\sqrt{3}x+a,$ проходящая через точку С, пересекает оси Х и Y в точках Е и F соответственно. $\vartriangle OEF$ — прямоугольный; $\angle OEF=90^{\circ} .$

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу ее наклона к положительному направлению оси Х, то есть $-\sqrt{3},\$ поэтому $tg\ \angle OEF=\sqrt{3}$ и $\angle OEF = 60^{\circ}.$

Высота ОС треугольника ОЕF равна радиусу единичной окружности, $OC=1.$

Из $\vartriangle OCE:\ \ OC=1,\ CE=\frac{1}{\sqrt{3}};\ OE=\frac{2}{\sqrt{3}}.$

Из $\vartriangle FOE:\ \ OF=\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=2.\$

Значит, в случае касания прямой и окружности в точке C значение параметра

Ответ: а = 2 или $1\leq a\textless \sqrt{3}$

Смотреть все задачи варианта

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 18, Вариант 5 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 23.09.2023

Задание 18, Вариант 5 — разбор решения задачи

Это полезно