Авторская задача. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственное решение на отрезке
.
Решение:
Один из способов решения таких уравнений — метод введения дополнительного угла. Разделим обе части уравнения на 2.
Заметим, что
Получим:
.
По формуле синуса суммы,
Сделаем замену:
Такая замена бывает удобна при решении тригонометрических уравнений с параметром. Очевидно, что , поскольку
Если t принадлежит отрезку , то
и
. Это значит, что
и
Получим систему:
Решим систему графически.
Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом
, пересекающую ось OY в точке с координатами
Остальные три условия задают дугу окружности с центром в начале координат и радиусом 1.
Найдем, при каких значениях параметра система имеет единственное решение.
Прямая — проходит через точку
или выше точки B и при этом ниже точки
Подставим координаты точки в уравнение прямой
Для точки получим значение параметра:
Подставим координаты точки в уравнение прямой
Для точки получим:
Значит, при уравнение
имеет единственное решение на отрезке
2) Единственное решение будет также в случае касания окружности и прямой
в точке C.
Пусть прямая проходящая через точку С, пересекает оси Х и Y в точках Е и F соответственно.
— прямоугольный;
Угловой коэффициент прямой равен тангенсу ее наклона к положительному направлению оси Х, то есть поэтому
и
Высота ОС треугольника ОЕF равна радиусу единичной окружности,
Из
Из
Значит, в случае касания прямой и окружности в точке C значение параметра
Ответ: а = 2 или
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 18, Вариант 5 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 23.09.2023