previous arrow
next arrow
Slider

Задание 18, Вариант 5 — разбор решения задачи

Авторская задача. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение {\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ } имеет единственное решение на отрезке [0; \frac{\pi }{{\rm 2}}].

Решение:
{\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ }

Один из способов решения таких уравнений — метод введения дополнительного угла. Разделим обе части уравнения на 2.

\frac{1}{2}sint+\frac{\sqrt{3}}{2}cost=\frac{a}{2}

Заметим, что

\frac{1}{2}=cos\frac{\pi}{3};\ \frac{\sqrt{3}}{2}=sin\frac{\pi}{3}.
Получим:

cos\frac{\pi}{3}sint+sin\frac{\pi}{3}cost=\frac{\alpha}{2}.

По формуле синуса суммы,

sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\alpha}{2}

Сделаем замену: x=cost,\ y=sint.

Такая замена бывает удобна при решении тригонометрических уравнений с параметром. Очевидно, что x^2+y^2=1, поскольку {cos}^2t+{sin}^2t=1.\

Если t принадлежит отрезку [0; \frac{\pi }{{\rm 2}}], то cost\ge 0\ и sint\ge 0. Это значит, что x\ge 0\ и y\ge 0.

Получим систему:

\left\{ \begin{array}{c}y+\sqrt{3}x=a \\x^2+y^2=1 \\x\ge 0 \\y\ge 0\ \end{array}\right.

Решим систему графически.

Первое уравнение y=-\sqrt{3}x+a задает прямую с угловым коэффициентом k=-\sqrt{3}, пересекающую ось OY в точке с координатами (0; a).

Остальные три условия задают дугу окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Найдем, при каких значениях параметра система имеет единственное решение.

Прямая y=-\sqrt{3}x+a — проходит через точку B\left(0;1\right) или выше точки B и при этом ниже точки A\left(1;0\right).

Подставим координаты точки B\left(0;1\right) в уравнение прямой y=-\sqrt{3}x+a.

Для точки B\left(0;1\right) получим значение параметра: \ a=1.

Подставим координаты точки A\left(1;0\right) в уравнение прямой y=-\sqrt{3}x+a.

Для точки A\left(1;0\right) получим: a=\sqrt{3}.

Значит, при a\in \left[1;\left.\sqrt{3}\right)\right. уравнение {\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ } имеет единственное решение на отрезке [0; \frac{\pi }{{\rm 2}}].

2) Единственное решение будет также в случае касания окружности x^2+y^2=1\ и прямой y=-\sqrt{3}x+a в точке C.

Пусть прямая y=-\sqrt{3}x+a, проходящая через точку С, пересекает оси Х и Y в точках Е и F соответственно. \vartriangle OEF — прямоугольный; \angle OEF=90^{\circ} .

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу ее наклона к положительному направлению оси Х, то есть -\sqrt{3},\ поэтому tg\ \angle OEF=\sqrt{3} и \angle OEF = 60^{\circ}.

Высота ОС треугольника ОЕF равна радиусу единичной окружности, OC=1.

Из \vartriangle OCE:\ \ OC=1,\ CE=\frac{1}{\sqrt{3}};\ OE=\frac{2}{\sqrt{3}}.

Из \vartriangle FOE:\ \ OF=\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=2.\

Значит, в случае касания прямой и окружности в точке C значение параметра

Ответ: а = 2 или 1\leq a\textless \sqrt{3}

Смотреть все задачи варианта