Задание 15, Вариант 5 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Решите неравенство:

Решение:

ОДЗ: $\left\{\begin{matrix} x\textgreater 0\hfill\\ x\neq1 \end{matrix}\right..$

При выполнении этих условий упростим выражения, входящие в неравенство:

$\frac{1}{{log}_x5}={log}_5x.$

Мы применили формулу: $\frac{1}{{log}_ab}={log}_ba$

${log}_{125}x^{12}={12log}_{125}x=12\frac{{log}_5x}{{log}_5125}={4log}_5x$

${log}_{\frac{1}{5}}x^{-15}=-15\frac{{log}_5x}{{log}_5\frac{1}{5}}=15{log}_5x$

Мы воспользовались формулой перехода к новому основанию: ${log}_ab=\frac{{log}_cb}{{log}_ca}$

Получим:
$\frac{log_{\frac{1}{5}}\left ( \frac{1}{x^{15}} \right )-2}{log_{125}x^{12}}\leq 4-\frac{7}{log_x5}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{15log_5x-2}{4log_5x}\leq 4-7log_5x\\ x\textgreater0, x\neq1 \hfill \end{matrix}\right.$

В первом неравенстве системы сделаем замену ${log}_5x=t$ . Неравенство примет вид:
$\frac{15t-2}{4t}\le 4-7t$

$\frac{15t-2+{28t}^2-16t}{4t}\le 0$

$\frac{{28t}^2-t-2}{t}\le 0$

Разложим числитель на множители, применяя формулу:

${ax}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right),$
где $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного уравнения ${ax}^2+bx+c=0$ .

Корнями уравнения являются $t_1=\frac{2}{7};\ t_2=-\frac{1}{4}$ .

$\frac{28\left(t-\frac{2}{7}\right)\left(t+\frac{1}{4}\right)}{t}\le 0$

Решим неравенство методом интервалов:

Решения неравенства:

Вернёмся к переменной x. Получим систему:

Представим $\frac{2}{7}$ как ${log}_5\sqrt[7]{25}$ и $-\frac{1}{4}$ как ${log}_5\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ .

Заметим, что

Запишем ответ:

Ответ: $\left(0;\left.\frac{1}{\sqrt[4]{5}}\right]\bigcup \left(1;\right.\ \left.\sqrt[7]{25}\ \right]\right..$

Смотреть все задачи варианта

Задание 15, Вариант 5 — разбор решения задачи

Это полезно