previous arrow
next arrow
Slider

Задание 15, Вариант 5 — разбор решения задачи

Решите неравенство:

Решение:

ОДЗ: \left\{\begin{matrix} x\textgreater 0\hfill\\ x\neq1 \end{matrix}\right..

При выполнении этих условий упростим выражения, входящие в неравенство:

\frac{1}{{log}_x5}={log}_5x.

Мы применили формулу: \frac{1}{{log}_ab}={log}_ba

{log}_{125}x^{12}={12log}_{125}x=12\frac{{log}_5x}{{log}_5125}={4log}_5x

{log}_{\frac{1}{5}}x^{-15}=-15\frac{{log}_5x}{{log}_5\frac{1}{5}}=15{log}_5x

Мы воспользовались формулой перехода к новому основанию: {log}_ab=\frac{{log}_cb}{{log}_ca}

Получим:
\frac{log_{\frac{1}{5}}\left ( \frac{1}{x^{15}} \right )-2}{log_{125}x^{12}}\leq 4-\frac{7}{log_x5}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{15log_5x-2}{4log_5x}\leq 4-7log_5x\\ x\textgreater0, x\neq1 \hfill \end{matrix}\right.

В первом неравенстве системы сделаем замену {log}_5x=t. Неравенство примет вид:
\frac{15t-2}{4t}\le 4-7t

\frac{15t-2+{28t}^2-16t}{4t}\le 0

\frac{{28t}^2-t-2}{t}\le 0

Разложим числитель на множители, применяя формулу:

{ax}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right),
где x_1 и x_2 - корни квадратного уравнения {ax}^2+bx+c=0.

Корнями уравнения  являются t_1=\frac{2}{7};\ t_2=-\frac{1}{4}.

\frac{28\left(t-\frac{2}{7}\right)\left(t+\frac{1}{4}\right)}{t}\le 0

Решим неравенство методом интервалов:

Решения неравенства:

Вернёмся к переменной x. Получим систему:

Представим \frac{2}{7} как {log}_5\sqrt[7]{25} и -\frac{1}{4} как {log}_5\frac{1}{\sqrt[4]{5}}.

Заметим, что 

Запишем ответ:

Ответ: \left(0;\left.\frac{1}{\sqrt[4]{5}}\right]\bigcup \left(1;\right.\ \left.\sqrt[7]{25}\ \right]\right..

Смотреть все задачи варианта