Решите неравенство:
Решение:
ОДЗ: \(\left\{\begin{matrix} x\textgreater 0\hfill\\ x\neq1 \end{matrix}\right..\)
При выполнении этих условий упростим выражения, входящие в неравенство:
\(\frac{1}{{log}_x5}={log}_5x.\)
Мы применили формулу: \(\frac{1}{{log}_ab}={log}_ba\)
\({log}_{125}x^{12}={12log}_{125}x=12\frac{{log}_5x}{{log}_5125}={4log}_5x \)
\({log}_{\frac{1}{5}}x^{-15}=-15\frac{{log}_5x}{{log}_5\frac{1}{5}}=15{log}_5x \)
Мы воспользовались формулой перехода к новому основанию: \({log}_ab=\frac{{log}_cb}{{log}_ca}\)
Получим:
\(\frac{log_{\frac{1}{5}}\left ( \frac{1}{x^{15}} \right )-2}{log_{125}x^{12}}\leq 4-\frac{7}{log_x5}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{15log_5x-2}{4log_5x}\leq 4-7log_5x\\ x\textgreater0, x\neq1 \hfill \end{matrix}\right.\)
В первом неравенстве системы сделаем замену \({log}_5x=t\). Неравенство примет вид:
\(\frac{15t-2}{4t}\le 4-7t \)
\(\frac{15t-2+{28t}^2-16t}{4t}\le 0 \)
\(\frac{{28t}^2-t-2}{t}\le 0 \)
Разложим числитель на множители, применяя формулу:
\({ax}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right), \)
где \(x_1\) и \( x_2\) - корни квадратного уравнения \({ax}^2+bx+c=0\).
Корнями уравнения 
являются \(t_1=\frac{2}{7};\ t_2=-\frac{1}{4}\).
\(\frac{28\left(t-\frac{2}{7}\right)\left(t+\frac{1}{4}\right)}{t}\le 0\)
Решим неравенство методом интервалов:
Решения неравенства:
Вернёмся к переменной x. Получим систему:
Представим \(\frac{2}{7}\) как \({log}_5\sqrt[7]{25}\) и \(-\frac{1}{4}\) как \({log}_5\frac{1}{\sqrt[4]{5}}\).
Заметим, что 
Запишем ответ:
Ответ: \(\left(0;\left.\frac{1}{\sqrt[4]{5}}\right]\bigcup \left(1;\right.\ \left.\sqrt[7]{25}\ \right]\right..
\)
