Основанием прямой треугольной призмы
является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые
и
перпендикулярны.
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние между прямыми и
, если
,
.
Решение:
а) Докажем, что
По условию,
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Мы получили, что точка — проекция точки
на
и прямая
— проекция наклонной
на
По условию,
Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах.
Тогда — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны. Значит,
— квадрат,
б) Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми
и
, если
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Тогда — прямоугольный.
Пусть M — середина .
В плоскости проведём через точку М прямую
.
Кроме того, , т.к.
Значит, МН — общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым и
и длина МН равна расстоянию между этими прямыми.
Найдем МН.
В прямоугольном треугольнике проведем высоту
. Треугольники АНМ и
подобны по двум углам, поэтому
Найдём — высоту треугольника
— как диагональ квадрата
сторона которого равна 6.
— как гипотенуза прямоугольного треугольника АВС,
— как гипотенуза прямоугольного треугольника
.
Отсюда
Ответ: