previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14, Вариант 5 — разбор решения задачи

Основанием прямой треугольной призмы {ABCA}{}_{1} {B}{}_{1} {C}{}_{1} является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые {CA}{}_{1} и {AB}{}_{1} перпендикулярны.

а) Докажите, чтоAA_1=AC.

б) Найдите расстояние между прямыми {CA}{}_{1} и {AB}{}_{1}, если {AC}=6,{BC}=3.

Решение:

а) Докажем, что {AA}_1=AC.

По условию,

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Мы получили, что точка C_1 — проекция точки B_1 на \left({AA}_1C_1\right) и прямая {AC}_1\  — проекция наклонной{AB}_{1\ } на \left({AA}_1C_1\right).\

По условию, {CA}_1\bot {AB}_1.

Следовательно, {CA}_1\bot {AC}_1 по теореме о трёх перпендикулярах.

Тогда {AA}_1C_1C — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны. Значит, {AA}_1C_1C — квадрат, {AA}_1=AC.

б) Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми

{CA}{}_{1} и {AB}{}_{1}, если AC=6,BC=3.

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Тогда \vartriangle AB_1C_1 — прямоугольный.

Пусть M — середина {AC}_1.

В плоскости {AB}_1C_1\ проведём через точку М прямую MH\bot {AB}_1.

Кроме того, MH\bot {CA}_1, т.к. {CA}_1\bot \left({AB}_1C_1\right);MH\in \left({AB}_1C_1\right).

Значит, МН — общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым {AB}_1 и {CA}_1 и длина МН равна расстоянию между этими прямыми.

Найдем МН.

В прямоугольном треугольнике AB_1C_1 проведем высоту C_1E. Треугольники АНМ и {AB}_1C_1\ подобны по двум углам, поэтому MH\parallel C_1E,\ MH=\ \frac{1}{2}C_1E.

Найдём C_1E — высоту треугольника {AB}_1C_{1.}

{AC}_1=6\sqrt{2} — как диагональ квадрата

{AA}_1C_1C, сторона которого равна 6.

AB=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5} — как гипотенуза прямоугольного треугольника АВС,

{AB}_1=\sqrt{45+36}=9 — как гипотенуза прямоугольного треугольника {ABB}_1.

S_{\vartriangle AB_1C_1}=\frac{1}{2}{AC}_1\cdot {CB}_1=\frac{1}{2}{AB}_1\cdot C_1E.

Отсюда C_1E=\frac{{AC}_1\cdot B_1C_1}{{AB}_1}=\frac{6\sqrt{9}\cdot 3}{9}=2\sqrt{2} {\rm MH}{\rm =}\frac{1}{2}C_1E=\sqrt{2}

Ответ: \sqrt{2}

Смотреть все задачи варианта