Задание 14, Вариант 5 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Основанием прямой треугольной призмы ${ABCA}{}_{1}$ ${B}{}_{1}$ ${C}{}_{1}$ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые ${CA}{}_{1}$ и ${AB}{}_{1}$ перпендикулярны.

а) Докажите, что $AA_1=AC.$

б) Найдите расстояние между прямыми ${CA}{}_{1}$ и ${AB}{}_{1}$ , если ${AC}=6$ , ${BC}=3$ .

Решение:

а) Докажем, что ${AA}_1=AC.$

По условию,

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Мы получили, что точка $C_1$ — проекция точки $B_1$ на $\left({AA}_1C_1\right)$ и прямая ${AC}_1\$ — проекция наклонной ${AB}_{1\ }$ на $\left({AA}_1C_1\right).\$

По условию, ${CA}_1\bot {AB}_1.$

Следовательно, ${CA}_1\bot {AC}_1$ по теореме о трёх перпендикулярах.

Тогда ${AA}_1C_1C$ — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны. Значит, ${AA}_1C_1C$ — квадрат, ${AA}_1=AC.$

б) Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми

${CA}{}_{1}$ и ${AB}{}_{1}$ , если $AC=6,BC=3.$

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Тогда $\vartriangle AB_1C_1$ — прямоугольный.

Пусть M — середина ${AC}_1$ .

В плоскости ${AB}_1C_1\$ проведём через точку М прямую $MH\bot {AB}_1$ .

Кроме того, $MH\bot {CA}_1$ , т.к. ${CA}_1\bot \left({AB}_1C_1\right);MH\in \left({AB}_1C_1\right).$

Значит, МН — общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым ${AB}_1$ и ${CA}_1$ и длина МН равна расстоянию между этими прямыми.

Найдем МН.

В прямоугольном треугольнике $AB_1C_1$ проведем высоту $C_1E$ . Треугольники АНМ и ${AB}_1C_1\$ подобны по двум углам, поэтому $MH\parallel C_1E,\ MH=\ \frac{1}{2}C_1E.$

Найдём $C_1E$ — высоту треугольника ${AB}_1C_{1.}$

${AC}_1=6\sqrt{2}$ — как диагональ квадрата

${AA}_1C_1C,$ сторона которого равна 6.

$AB=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$ — как гипотенуза прямоугольного треугольника АВС,

${AB}_1=\sqrt{45+36}=9$ — как гипотенуза прямоугольного треугольника ${ABB}_1.$

$S_{\vartriangle AB_1C_1}=\frac{1}{2}{AC}_1\cdot {CB}_1=\frac{1}{2}{AB}_1\cdot C_1E$ .

Отсюда $C_1E=\frac{{AC}_1\cdot B_1C_1}{{AB}_1}=\frac{6\sqrt{9}\cdot 3}{9}=2\sqrt{2}$ ${\rm MH}{\rm =}\frac{1}{2}C_1E=\sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 14, Вариант 5 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 25.03.2023

Задание 14, Вариант 5 — разбор решения задачи

Это полезно