Задание 14, Вариант 5 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Основанием прямой треугольной призмы ${ABCA}{}_{1}$ ${B}{}_{1}$ ${C}{}_{1}$ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые ${CA}{}_{1}$ и ${AB}{}_{1}$ перпендикулярны.

а) Докажите, что $AA_1=AC.$

б) Найдите расстояние между прямыми ${CA}{}_{1}$ и ${AB}{}_{1}$ , если ${AC}=6$ , ${BC}=3$ .

Решение:

а) Докажем, что ${AA}_1=AC.$

По условию,

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Мы получили, что точка $C_1$ — проекция точки $B_1$ на $\left({AA}_1C_1\right)$ и прямая ${AC}_1\$ — проекция наклонной ${AB}_{1\ }$ на $\left({AA}_1C_1\right).\$

По условию, ${CA}_1\bot {AB}_1.$

Следовательно, ${CA}_1\bot {AC}_1$ по теореме о трёх перпендикулярах.

Тогда ${AA}_1C_1C$ — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны. Значит, ${AA}_1C_1C$ — квадрат, ${AA}_1=AC.$

б) Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми

${CA}{}_{1}$ и ${AB}{}_{1}$ , если $AC=6,BC=3.$

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Тогда $\vartriangle AB_1C_1$ — прямоугольный.

Пусть M — середина ${AC}_1$ .

В плоскости ${AB}_1C_1\$ проведём через точку М прямую $MH\bot {AB}_1$ .

Кроме того, $MH\bot {CA}_1$ , т.к. ${CA}_1\bot \left({AB}_1C_1\right);MH\in \left({AB}_1C_1\right).$

Значит, МН — общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым ${AB}_1$ и ${CA}_1$ и длина МН равна расстоянию между этими прямыми.

Найдем МН.

В прямоугольном треугольнике $AB_1C_1$ проведем высоту $C_1E$ . Треугольники АНМ и ${AB}_1C_1\$ подобны по двум углам, поэтому $MH\parallel C_1E,\ MH=\ \frac{1}{2}C_1E.$