Авторская задача
Решите неравенство:
\(\sqrt{7+{\sqrt{2}}^x}\ge 7-2^{\frac{x}{2}+1}\)
Решение:
Сделаем замену 
Получим: \(\sqrt{7+t}\ge 7-2t.\)
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
Мы получили, что \(2^{\frac{x}{2}}\ge 2,\ \ \ \ \frac{x}{2}\ge 1.\ \\)
Значит, \(\ x\ge 2.\\) Это ответ.
Теперь подробно о каждом действии.
Посмотрим на неравенство \(\sqrt{7+t}\ge 7-2t. \) Область его допустимых значений: \(7+t\ge 0\)
В левой его части — квадратный корень, величина неотрицательная. А вот правая часть может быть и больше нуля, и меньше, и равна нулю. Значит, возможны два случая:
1) Если правая часть неравенства тоже неотрицательна, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Получим систему:
\(\genfrac{}{}{0pt}{}{\left\{ \begin{array}{c}
7+t\ge {\left(7-2t\right)}^2 \\
\begin{array}{c}
7-2t\ge 0 \\
7+t\ge 0 \end{array}
\end{array}
\right.}{\ }. \)
2) Если правая часть неравенства отрицательна, то неравенство выполняется для всех х, принадлежащих ОДЗ.
Получим:
Вот откуда в решении взялась совокупность двух систем.
Квадратичное неравенство из первой системы решаем стандартным способом. Находим корни уравнения
\({4t}^2-29t+42=0.\)
Его дискриминант \(D={29}^2-16\cdot 42=841-672=169,\\) корни \(t=\frac{29\pm 13}{8};\)
\(t_1=\frac{21}{4},\ t_2=2. \)
Объединяем решения обоих систем на числовой прямой.
Получаем, что \(t \ge 2,\\) значит, \(x\ge 2.\)
Ответ: \(x\in \left[2;\ +\infty \right). \)
