Решите неравенство:
\(\frac{{{\log }_3 (1-2x-x^2)\ }}{{{\log }_{3-\sqrt{5}} (x+1+\sqrt{2})\ }}\ge 0\)
Решение:
Это неравенство проще всего решить методом рационализации (замены множителя). Мы знаем, что если в правой части неравенства ноль, то множитель \({log}_hf\) можно заменить на \(\left(h-1\right)\left(f-1\right)\) при 
По методу рационализации, множитель \({{\log }_3 \left(1-2x-x^2\right)\ }\) заменим на \((3-1)(1-2x-x^2)\), а множитель \({{\log }_{3-\sqrt{5}} (x+1+\sqrt{2})\ }\)- на \(\left(2-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{2}\right).\)
Неравенство равносильно системе
Очевидно, что 
. Сравним 2 и \(\sqrt{5}.\) Поскольку 
, получим, что 
Система примет вид:
Найдем корни уравнения \(x^2+2x-1=0\). Его дискриминант D=8, \(x=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}\)
Значит, 
Получим:
Не забудем сравнить \(-1-\sqrt{2}\\) и \( -2\), чтобы правильно расставить точки на оси X. Поскольку 
получим,что 
Ответ: \(x\in \left[-2;-\sqrt{2}\right)\cup [0; -1+\sqrt{2})\)
