Авторская задача Пусть АВ — хорда окружности с центром О, СВ — касательная к этой окружности, точки А и В лежат по разные стороны от прямой ОС. Радиус окружности ОВ = 4, АВ = \(2\sqrt{{\rm 11}}\), углы ОСВ и ОАВ равны.
а) Докажите, что точка О лежит на окружности \(\Omega \), описанной вокруг треугольника АВС.
б) Найдите радиус окружности \(\Omega \).
Решение:
а) По условию, углы ОСВ и ОАВ равны. Помните одну из наших классических схем, а именно третью? С ее помощью мы докажем, что четырехугольник OACB можно вписать в окружность. Тогда точка О лежит на окружности \(\Omega \), описанной вокруг треугольника АВС.
б) Мы доказали, что точка О лежит на окружности \(\Omega \), описанной вокруг треугольника АВС. Так как ВС — касательная к окружности, \(BC \bot OB\), \(\angle OBC=90^{\circ},\) значит, \(OC\) — диаметр. Тогда \(\angle OAC=90^{\circ} \), и треугольники ОВС и ОАС равны по гипотенузе и катету: \(OC\) — общая, \(OB=OA, \angle OAC=\angle OBC=90^{\circ}. \) Радиус окружности \(\Omega \) равен \(\ \frac{1}{2}\ OC\).
Перестроим чертеж. Пусть М — точка пересечения отрезков АВ и ОС.
По условию, \(OB = 4, AB = 2\sqrt{11}\). Тогда \(BM = \sqrt{11}.\ \) Из прямоугольного треугольника ОВМ по теореме Пифагора найдем \(OM=\sqrt{5}.\)
Заметим, что на чертеже есть подобные прямоугольные треугольники:\( \vartriangle OMB\sim \vartriangle OBC\) по двум углам.
Запишем соотношение сходственных сторон для этих треугольников:
\(\frac{OM}{OB}=\frac{OB}{OC}.\)
Получим:
\( \frac{\sqrt{{ 5}}}{4}=\frac{4}{OC}\).
Отсюда \(OC=\frac{16}{\sqrt{5}}\) .
Это диаметр окружности \(\Omega \). Радиус в 2 раза меньше: \(R=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.\)
Ответ: б) \(\frac{8\sqrt{{\rm 5}}}{{\rm 5}}\)
