Задание 16, Вариант 1 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача Пусть АВ — хорда окружности с центром О, СВ — касательная к этой окружности, точки А и В лежат по разные стороны от прямой ОС. Радиус окружности ОВ = 4, АВ = $2\sqrt{{\rm 11}}$ , углы ОСВ и ОАВ равны.

а) Докажите, что точка О лежит на окружности $\Omega$ , описанной вокруг треугольника АВС.

б) Найдите радиус окружности $\Omega$ .

Решение:

а) По условию, углы ОСВ и ОАВ равны. Помните одну из наших классических схем, а именно третью? С ее помощью мы докажем, что четырехугольник OACB можно вписать в окружность. Тогда точка О лежит на окружности $\Omega$ , описанной вокруг треугольника АВС.

б) Мы доказали, что точка О лежит на окружности $\Omega$ , описанной вокруг треугольника АВС. Так как ВС — касательная к окружности, $BC \bot OB$ , $\angle OBC=90^{\circ},$ значит, $OC$ — диаметр. Тогда $\angle OAC=90^{\circ}$ , и треугольники ОВС и ОАС равны по гипотенузе и катету: $OC$ — общая, $OB=OA, \angle OAC=\angle OBC=90^{\circ}.$ Радиус окружности $\Omega$ равен $\ \frac{1}{2}\ OC$ .

Перестроим чертеж. Пусть М — точка пересечения отрезков АВ и ОС.

По условию, $OB = 4, AB = 2\sqrt{11}$ . Тогда $BM = \sqrt{11}.\$ Из прямоугольного треугольника ОВМ по теореме Пифагора найдем $OM=\sqrt{5}.$

Заметим, что на чертеже есть подобные прямоугольные треугольники: $\vartriangle OMB\sim \vartriangle OBC$ по двум углам.

Запишем соотношение сходственных сторон для этих треугольников:

$\frac{OM}{OB}=\frac{OB}{OC}.$

Получим:

$\frac{\sqrt{{ 5}}}{4}=\frac{4}{OC}$ .

Отсюда $OC=\frac{16}{\sqrt{5}}$ .

Это диаметр окружности $\Omega$ . Радиус в 2 раза меньше: $R=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.$

Ответ: б) $\frac{8\sqrt{{\rm 5}}}{{\rm 5}}$

Смотреть все задачи варианта

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 16, Вариант 1 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 23.09.2023

Задание 16, Вариант 1 — разбор решения задачи

Это полезно