previous arrow
next arrow
Slider

Задание 16, Вариант 1 — разбор решения задачи

Авторская задача Пусть АВ — хорда окружности с центром О, СВ — касательная к этой окружности, точки А и В лежат по разные стороны от прямой ОС. Радиус окружности ОВ = 4, АВ = 2\sqrt{{\rm 11}}, углы ОСВ и ОАВ равны.

а) Докажите, что точка О лежит на окружности \Omega , описанной вокруг треугольника АВС.

б) Найдите радиус окружности \Omega .

Решение:

а) По условию, углы ОСВ и ОАВ равны. Помните одну из наших классических схем, а именно третью? С ее помощью мы докажем, что четырехугольник OACB можно вписать в окружность. Тогда точка О лежит на окружности \Omega , описанной вокруг треугольника АВС.

б) Мы доказали, что точка О лежит на окружности \Omega , описанной вокруг треугольника АВС. Так как ВС — касательная к окружности, BC \bot OB, \angle OBC=90^{\circ}, значит, OC — диаметр. Тогда \angle OAC=90^{\circ} , и треугольники ОВС и ОАС равны по гипотенузе и катету: OC — общая, OB=OA, \angle OAC=\angle OBC=90^{\circ}. Радиус окружности \Omega равен \ \frac{1}{2}\ OC.

Перестроим чертеж. Пусть М — точка пересечения отрезков АВ и ОС.

По условию, OB = 4, AB = 2\sqrt{11}. Тогда BM = \sqrt{11}.\ Из прямоугольного треугольника ОВМ по теореме Пифагора найдем OM=\sqrt{5}.

Заметим, что на чертеже есть подобные прямоугольные треугольники:\vartriangle OMB\sim \vartriangle OBC по двум углам.

Запишем соотношение сходственных сторон для этих треугольников:

\frac{OM}{OB}=\frac{OB}{OC}.

Получим:

\frac{\sqrt{{ 5}}}{4}=\frac{4}{OC}.

Отсюда OC=\frac{16}{\sqrt{5}} .

Это диаметр окружности \Omega . Радиус в 2 раза меньше: R=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.

Ответ: б) \frac{8\sqrt{{\rm 5}}}{{\rm 5}}

Смотреть все задачи варианта