Авторская задача Пусть АВ — хорда окружности с центром О, СВ — касательная к этой окружности, точки А и В лежат по разные стороны от прямой ОС. Радиус окружности ОВ = 4, АВ = , углы ОСВ и ОАВ равны.
а) Докажите, что точка О лежит на окружности , описанной вокруг треугольника АВС.
б) Найдите радиус окружности .
Решение:
а) По условию, углы ОСВ и ОАВ равны. Помните одну из наших классических схем, а именно третью? С ее помощью мы докажем, что четырехугольник OACB можно вписать в окружность. Тогда точка О лежит на окружности , описанной вокруг треугольника АВС.
б) Мы доказали, что точка О лежит на окружности , описанной вокруг треугольника АВС. Так как ВС — касательная к окружности,
,
значит,
— диаметр. Тогда
, и треугольники ОВС и ОАС равны по гипотенузе и катету:
— общая,
Радиус окружности
равен
.
Перестроим чертеж. Пусть М — точка пересечения отрезков АВ и ОС.
По условию, . Тогда
Из прямоугольного треугольника ОВМ по теореме Пифагора найдем
Заметим, что на чертеже есть подобные прямоугольные треугольники: по двум углам.
Запишем соотношение сходственных сторон для этих треугольников:
Получим:
.
Отсюда .
Это диаметр окружности . Радиус в 2 раза меньше:
Ответ: б)
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 16, Вариант 1 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 23.09.2023