Авторская задача. Окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. На отрезке АВ взята точка N так, что NK — общая внутренняя касательная к обеим окружностям.
а) Докажите, что углы \(O_1{NO}_2\) и АКВ равны.
б) Пусть Е — точка пересечения АК и \(O_1N\), F — точка пересечения ВК и \(O_2N\), радиусы окружностей равны 8 и 2. Найдите EF.
Решение:
а) Докажем, что \(\angle O_1NO_2=\angle AKB. \)
Заметим, что AN=NK=NB как отрезки касательных, проведённых из точки N.
Покажем, что \(\angle AKB=90{}^\circ .\)
Точки А, К и В равноудалены от точки N. Следовательно, они лежат на окружности с центром в точке N, причем АВ — диаметр этой окружности. Тогда \(\angle AKB=90^{\circ}\) как опирающийся на диаметр.
б) Найдём EF.
\(\vartriangle ANK\) — равнобедренный, NK=NA.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому NE — биссектриса и высота \(\vartriangle ANK,\ \ \angle NEK=90^{\circ}.\)
Аналогично, \(\angle NFK=90^{\circ}\), значит, NEKF — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, поэтому EF=NK.
\(EF=NK=\frac{1}{2}AB,\ \ \ AB=\sqrt{{\left(R+2\right)}^2-{\left(R-2\right)}^2}=\sqrt{4Rr}=2\sqrt{Rr};\)
\(EF=\ NK=\frac{2\sqrt{Rr}}{2}=\sqrt{Rr}=\ 4.\)
Ответ: б ) 4
