На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построен квадрат с центром О.
а) Отрезок ОС пересекает гипотенузу треугольника в точке М. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на прямой ОС.
б) Найдите отношение ОМ : СМ, если sin A = 0,6.
Решение:
Точка O лежит на окружности с центром в середине AB.
а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.
Докажем, что CО — биссектриса угла АВС и что \(\angle ACO=\angle OCB={45}^{\circ}.\) Это будет означать, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на луче СО.
В четырехугольнике AOCB сумма углов ACB и AOB равна \({90}^{\circ}+{90}^{\circ}={180}^{\circ}.\) Значит, четырехугольник AOCB можно вписать в окружность.
\( \angle ABO=\angle ACO={45}^{\circ}\) — как вписанные углы, опирающиеся на дугу АО.
б) Найдём отношение \(OM:CM\). Пусть угол ВАС равен \(\varphi \).
По условию, \(sin\varphi =0,6=\frac{3}{5}.\) Тогда \(cos \varphi =\frac{4}{5}\ \) (Пифагорова тройка).
Пусть \(BC=3a,\ \ AC=4a,\ \ AB=5a.\)
CM — биссектриса \(\vartriangle ABC.\ \)
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон, поэтому \(\ \frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}.\)
Значит, \(\ AM=\frac{4}{7}\cdot 5a,\ \ \ BM=\frac{3}{7}\cdot 5a.\ \)
\( AO=OB=\frac{5a\sqrt{2}}{2}{\rm }{\rm \ }\) — как половины диагоналей квадрата, сторона которого равна \( 5a.\)
Запишем теорему косинусов для треугольников АОМ и АСМ.
Из \(\vartriangle AOM\):
\({OM}^2={AM}^2+{AO}^2-2\cdot AM\cdot AO\cdot cos{45}^{\circ }=\)
\(={\left(\frac{4}{7}\cdot 5\right)}^2\cdot a^2+\frac{{25a}^2}{2}-2\cdot \frac{4}{7}\cdot 5a\cdot \frac{5a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}={\left(\frac{25}{7}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\right)}^2;\)
\(OM=\frac{25}{7}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \)
Из \( \vartriangle ACM:\)
\( {CM}^2={AC}^2+{AM}^2-2AC\cdot AM\cdot cos \varphi =\)
\({\left(4a\right)}^2+{\left(\frac{4}{7}\cdot 5a\right)}^2-2\cdot 4a\cdot \frac{4}{7}\cdot 5a\cdot \frac{4}{5}=\frac{288}{49}a^2; \ CM=\frac{12}{7}a\sqrt{2};\)
\(\frac{OM}{CM}=\frac{25}{7}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{7}{12a\sqrt{2}}=\frac{25}{24}. \)
Ответ: \(\frac{25}{24}.\)
