Авторская задача Две окружности пересекаются в точках M и N и касаются прямой р в точках А и В соответственно. Прямая MN пересекает отрезок АВ в точке К.
а) Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN.
б) Найдите АК, если расстояние между центрами окружностей равно 17, а их радиусы равны 20 и 5.
Решение:
а) Докажем, что точка K — середина AB. Это будет означать, что MK — медиана треугольника ABM и что точка пересечения медиан треугольника АВМ лежит на прямой MN.
По теореме о секущей и касательной,
\(\genfrac{}{}{0pt}{}{{KB}^2=KM\cdot KN}{{AK}^2=KM\cdot KN}\Rightarrow KB=AK\), что и требовалось доказать.
б) Найдём длину AК. Очевидно, \(AK=\frac{AB}{2}.\)
Проведём \(O_2E\parallel AB.\)
\(O_1A\bot AB,\ {\ O}_2B\bot AB\Rightarrow O_1A\parallel O_2B;\ ABO_2E\ \) — прямоугольник, \(\ O_2E=AB.\)
\(O_1E=O_1A-EA=O_1A-O_2B=20-5=15. \)
Рассмотрим \(\vartriangle O_{1} O_{2} E \), \(\angle E=90^{\circ}.\) По теореме Пифагора,\(\ O_2E=\sqrt{O_1{O_2}^2-O_1E^2}=\sqrt{{17}^2-{15}^2}=8.\)
Значит,\( AB=8\),\( AK=\frac{AB}{2}=4.\)
Ответ: 4.
