В начале марта 2017 года клиент обратился в банк за кредитом. Условия кредитования следующие:
Срок полного погашения кредита 9 месяцев.
1-го числа каждого месяца (начиная с апреля) сумма долга увеличивается на 2%.
Со 2-го по 14-е число каждого месяца, начиная с апреля, клиент обязан выплатить часть долга,
- Сумма долга на 15-е число каждого месяца должна быть на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в период со 2 по 14 августа клиент обязан выплатить банку 44 тысячи рублей. Найдите общую сумму, которую клиент выплатит банку на таких условиях.
Решение:
Пусть S — сумма кредита, p=2% — процент, начисляемый банком;
\(k=1+\frac{p}{100}=1,02\) — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после очередного начисления процентов.
Нарисуем схему выплаты кредита.
Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.
Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 9.
Первоначальная сумма кредита равна S. После начисления процентов сумма долга увеличилась в k раз и стала равна kS. После первой выплаты сумма долга уменьшилась на \(\frac{1}{9}S\) и стала равной \(\frac{8}{9}S.\) Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна \(\frac{8}{9}kS.\) Таким образом, первая выплата
\(Z_{1}=S\cdot k-\frac{8}{9}S\)
Вторая выплата:
\(\vdots\)
9-я выплата: \(Z_9=\frac{1}{9}kS\)
Найдем выплату за август (пятую по счету).
\(Z_5=\frac{5}{9}kS-\frac{4}{9}S=44\)(тыс. рублей). Отсюда \(S=\frac{44\cdot 9}{1,1}=360\) тыс. рублей.
Сумма всех выплат:
\(Z=Z_1+Z_2+\dots +Z_9=S\cdot k\left(1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+\dots +\frac{1}{9}\right)-S\left(\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+\dots +\frac{1}{9}\right)=\)
\(=5kS-4S=S\left(5k-4\right)=360\left(5\cdot 1,02-4\right)=360\cdot 1,1=396\) тыс. рублей
Мы вывели формулу для общей суммы выплат. Есть и короткий способ решения этой задачи — применение готовой формулы для общей суммы выплат.
Величина выплат B=S+П. Здесь П — переплата по кредиту, S — сумма кредита.
По формуле для величины переплаты, \(\Pi = \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}S, \) где \(n=9,\ \ p=2; \)
тогда \(B=360\left(1+\frac{10}{2}\cdot \frac{2}{100}\right)=360\cdot 1,1=396\)
тысяч рублей.
Если на ЕГЭ вы воспользовались готовой формулой для переплаты — вы потеряете не менее 1 балла за эту задачу, зато сэкономите время. Выбор за вами.
Ответ: 396 тысяч рублей.
