Фирма производит светильники. Расходы на производство 1 светильника зависят от объема производства и равны 1000 + 2n рублей, где n — число светильников, изготовленных за месяц. Цена светильника также зависит от объема производства и равна 10000 - n рублей. Найдите, при каком объеме производства прибыль максимальна.
Решение:
Пусть n — количество светильников, проданных за месяц. Прибыль от продажи n светильников за месяц
\(Z\left(n\right)=\left(1000+2n-10000+n\right)\cdot n=\left(3n-9000\right)\cdot n=3n^2-9000 \cdot n\) рублей.
Рассмотрим функцию от действительного аргумента Z(x), такую, что Z(x) совпадает с Z(n) при натуральных x. Это нужно для того, чтобы найти наибольшее значение\( Z\left(n\right)\). Как мы знаем, производную можно брать только от непрерывной функции. \(Z\left(n\right)\) — функция натурального аргумента, а \(Z\left(x\right)\) непрерывна.
\(Z\left(x\right)=\left(3x-9000\right)x;\ \ x\ge 0;\ \ x\in [0;+\infty ) \)
\(Z'\left ( x \right )=6x-9000;\)
Приравняем производную функции \({\rm Z}\left({\rm x}\right)\) к нулю, чтобы найти точку максимума.
\(Z'\left ( x \right )=0, \, \, x=1500\). Найдем знаки \( {\rm Z}{\rm '(}{\rm x}{\rm )}. \)
При x = 1500 производная меняет знак с «+» на «минус», значит, x=1500 — точка максимума. Тогда n=1500.
Есть и другой способ решения, без применения производной.
\(y=Z\left(x\right)=\left(9000-3x\right)x=9000x-3x^2\). Это квадратичная парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы:
\( x_0=\frac{9000}{6}=1500 \)
Ответ: 1500
