Slider

Задание 18, Вариант 1 — разбор решения задачи

Авторская задача При каких значениях параметра а найдется такое значение параметра b > 0, что система уравнений

\left\{\ \begin{matrix}\frac{\sqrt{x-1}\ \sqrt{y-1}\ \left(4+\ \sqrt{2}-x-y\right)}{{\left({\rm x}{\rm -}{\rm 1}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +\ }{\left({\rm y}{\rm -}1\right)}^{{\rm 2}}}=0 \\\ \ \\{\left({\rm x}{\rm -}{\rm a}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +\ }{\left({\rm y}{\rm -}a\right)}^{{\rm 2}}{\rm =\ }b^{{\rm 2}} \end{matrix}\right.

имеет ровно три различных решения?

Решение:

В первом уравнении нет параметра. Посмотрим на него: в левой части дробь, в правой ноль. Значит, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен. Наша система равносильна следующей:

Уравнение x=1 задает вертикальную прямую, проходящую через точку (1; 0)

Уравнение y=1 задает горизонтальную прямую, проходящую через точку (0; 1)

Уравнение y= 4+ \sqrt{2}-x задает прямую, угловой коэффициент которой равен — 1, пересекающую ось ординат в точке (0; 4+\ \sqrt{2}).

Условия x - 1 \geq 0 и y - 1 \geq 0 задают область, находящуюся выше прямой у = 1 и правее прямой х = 1, включая границу области.

Условие {\left(x-1\right)}^2+\ {\left(y-1\right)}^2\ne {\rm 0\ } означает, что х и у не равны нулю одновременно. Точка А(1; 1) не удовлетворяет ОДЗ и на чертеже будет выколотой.

Изобразим на координатной плоскости x0y множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы.

На рисунке Е — точка пересечения прямых х = 1 и y=4+ \sqrt{2}-x, F — точка пересечения прямых у = 1 и y= 4+ \sqrt{2}-x.  Координаты точкиE (3+\sqrt{2}1), координаты точки F (13+\sqrt{2}).

Треугольник АEF — прямоугольный с гипотенузой EF и катетами АE и AF.

График второго уравнения системы — окружность с центром (a; a) и радиусом b. Центр этой окружности лежит на прямой y=x.

Переформулируем условие задачи: при каких значениях параметра a найдется окружность с центром в точке (a; a) и радиусом b, имеющая с графиком первого уравнения ровно 3 общие точки?

Иными словами, где на прямой y=x должен быть расположен центр окружности радиуса b, чтобы окружность имела ровно 3 общие точки с графиком первого уравнения?

Заметим, что график первого уравнения симметричен относительно прямой у = х.

Действительно, если пара (m; n) является решением первого уравнения, то и пара (n:m) является ее решением

Следовательно, для того чтобы система имела нечетное количество решений, необходимо, чтобы решением была пара чисел, у которой x=y, то есть задаваемая вторым уравнением окружность должна проходить через точку С — середину отрезка EF. Точка А не подойдет — она выколотая.

Найдем, в каких случаях заданная вторым уравнением окружность проходит через точку С и пересекает каждый катет треугольника AEF (или продолжение этого катета) ровно 1 раз.

1 случай. Окружность вписана в треугольник AEF. Ее центром является точка Р.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле r=\frac{a+b-c}{2}.

Длины катетов АЕ и АF равны 2+\ \sqrt{2}, гипотенуза EF равна AE\cdot \sqrt{2}=2+2\sqrt{2}, радиус b = 1, a=2.

2 случай. Так называемая вневписанная окружность треугольника AEF, касающаяся его гипотенузы и продолжений катетов. Ее центр — точка Q. Радиус этой окружности b и соответствующее значение a найдем из подобия прямоугольных треугольников OPN и OQM.

\frac{{\rm O}P}{{\rm PN}}=\ \frac{{\rm OQ}}{{\rm QM}}\ , причем

QM=b+1, OQ=OP+PC+QC=2\sqrt{2}+1+b.

Получим, что для вневписанной окружности радиус b = 3+2\sqrt{2\ } и {a} = 4+2\sqrt{2}.\

3 случай. Окружность с центром в точке (a; a) касается отрезка EF в точке С и пересекает катеты АE и AF каждый в одной точке. Это происходит, когда окружность пересечет прямую y=x второй раз в точке (1; 1) или ниже ее.

Если окружность с центром в точке (a; a) пересекает прямую y=x второй раз в точке (1; 1), то ее центром является точка Т \left ( \frac{6+\sqrt{2}}{4};\frac{6+\sqrt{2}}{4} \right ) — середина отрезка АС. Тогда a=\frac{6+\sqrt{2}}{4}, b=\frac{1+\sqrt{2}}{2}.

Если a \textless \frac{6+\sqrt{2}}{4}, то окружность, касающаяся EF, пересекает катеты AE и AF каждый в одной точке, т.е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае b=2\sqrt{2}+1-a\sqrt{2}).

Если \ \ \frac{\ \ 6+\sqrt{2}}{4}\textless {\rm \ }a\ \textless 2,\ то есть центр окружности лежит выше точки Т и ниже точки Р, окружность пересекает каждый катет дважды, и число решений больше трех.

Ответ: a=2;\: a=4+2\sqrt{2};\: a\leq\frac{6+\sqrt{2}}{4}

Смотреть все задачи варианта

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.