previous arrow
next arrow
Slider

Задание 18, Вариант 1 — разбор решения задачи

Авторская задача При каких значениях параметра а найдется такое значение параметра b > 0, что система уравнений

\left\{\ \begin{matrix}\frac{\sqrt{x-1}\ \sqrt{y-1}\ \left(4+\ \sqrt{2}-x-y\right)}{{\left({\rm x}{\rm -}{\rm 1}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +\ }{\left({\rm y}{\rm -}1\right)}^{{\rm 2}}}=0 \\\ \ \\{\left({\rm x}{\rm -}{\rm a}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +\ }{\left({\rm y}{\rm -}a\right)}^{{\rm 2}}{\rm =\ }b^{{\rm 2}} \end{matrix}\right.

имеет ровно три различных решения?

Решение:

В первом уравнении нет параметра. Посмотрим на него: в левой части дробь, в правой ноль. Значит, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен. Наша система равносильна следующей:

Уравнение x=1 задает вертикальную прямую, проходящую через точку (1; 0)

Уравнение y=1 задает горизонтальную прямую, проходящую через точку (0; 1)

Уравнение y= 4+ \sqrt{2}-x задает прямую, угловой коэффициент которой равен — 1, пересекающую ось ординат в точке (0; 4+\ \sqrt{2}).

Условия x - 1 \geq 0 и y - 1 \geq 0 задают область, находящуюся выше прямой у = 1 и правее прямой х = 1, включая границу области.

Условие {\left(x-1\right)}^2+\ {\left(y-1\right)}^2\ne {\rm 0\ } означает, что х и у не равны нулю одновременно. Точка А(1; 1) не удовлетворяет ОДЗ и на чертеже будет выколотой.

Изобразим на координатной плоскости x0y множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы.

На рисунке Е — точка пересечения прямых х = 1 и y=4+ \sqrt{2}-x, F — точка пересечения прямых у = 1 и y= 4+ \sqrt{2}-x.  Координаты точкиE (3+\sqrt{2}1), координаты точки F (13+\sqrt{2}).

Треугольник АEF — прямоугольный с гипотенузой EF и катетами АE и AF.

График второго уравнения системы — окружность с центром (a; a) и радиусом b. Центр этой окружности лежит на прямой y=x.

Переформулируем условие задачи: при каких значениях параметра a найдется окружность с центром в точке (a; a) и радиусом b, имеющая с графиком первого уравнения ровно 3 общие точки?

Иными словами, где на прямой y=x должен быть расположен центр окружности радиуса b, чтобы окружность имела ровно 3 общие точки с графиком первого уравнения?

Заметим, что график первого уравнения симметричен относительно прямой у = х.

Действительно, если пара (m; n) является решением первого уравнения, то и пара (n:m) является ее решением

Следовательно, для того чтобы система имела нечетное количество решений, необходимо, чтобы решением была пара чисел, у которой x=y, то есть задаваемая вторым уравнением окружность должна проходить через точку С — середину отрезка EF. Точка А не подойдет — она выколотая.

Найдем, в каких случаях заданная вторым уравнением окружность проходит через точку С и пересекает каждый катет треугольника AEF (или продолжение этого катета) ровно 1 раз.

1 случай. Окружность вписана в треугольник AEF. Ее центром является точка Р.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле r=\frac{a+b-c}{2}.

Длины катетов АЕ и АF равны 2+\ \sqrt{2}, гипотенуза EF равна AE\cdot \sqrt{2}=2+2\sqrt{2}, радиус b = 1, a=2.

2 случай. Так называемая вневписанная окружность треугольника AEF, касающаяся его гипотенузы и продолжений катетов. Ее центр — точка Q. Радиус этой окружности b и соответствующее значение a найдем из подобия прямоугольных треугольников OPN и OQM.

\frac{{\rm O}P}{{\rm PN}}=\ \frac{{\rm OQ}}{{\rm QM}}\ , причем

QM=b+1, OQ=OP+PC+QC=2\sqrt{2}+1+b.

Получим, что для вневписанной окружности радиус b = 3+2\sqrt{2\ } и {a} = 4+2\sqrt{2}.\

3 случай. Окружность с центром в точке (a; a) касается отрезка EF в точке С и пересекает катеты АE и AF каждый в одной точке. Это происходит, когда окружность пересечет прямую y=x второй раз в точке (1; 1) или ниже ее.

Если окружность с центром в точке (a; a) пересекает прямую y=x второй раз в точке (1; 1), то ее центром является точка Т \left ( \frac{6+\sqrt{2}}{4};\frac{6+\sqrt{2}}{4} \right ) — середина отрезка АС. Тогда a=\frac{6+\sqrt{2}}{4}, b=\frac{1+\sqrt{2}}{2}.

Если a \textless \frac{6+\sqrt{2}}{4}, то окружность, касающаяся EF, пересекает катеты AE и AF каждый в одной точке, т.е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае b=2\sqrt{2}+1-a\sqrt{2}).

Если \ \ \frac{\ \ 6+\sqrt{2}}{4}\textless {\rm \ }a\ \textless 2,\ то есть центр окружности лежит выше точки Т и ниже точки Р, окружность пересекает каждый катет дважды, и число решений больше трех.

Ответ: a=2;\: a=4+2\sqrt{2};\: a\leq\frac{6+\sqrt{2}}{4}

Смотреть все задачи варианта