Задание 18, Вариант 1 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача При каких значениях параметра а найдется такое значение параметра b > 0, что система уравнений

$\left\{\ \begin{matrix}\frac{\sqrt{x-1}\ \sqrt{y-1}\ \left(4+\ \sqrt{2}-x-y\right)}{{\left({\rm x}{\rm -}{\rm 1}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +\ }{\left({\rm y}{\rm -}1\right)}^{{\rm 2}}}=0 \\\ \ \\{\left({\rm x}{\rm -}{\rm a}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +\ }{\left({\rm y}{\rm -}a\right)}^{{\rm 2}}{\rm =\ }b^{{\rm 2}} \end{matrix}\right.$

имеет ровно три различных решения?

Решение:

В первом уравнении нет параметра. Посмотрим на него: в левой части дробь, в правой ноль. Значит, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен. Наша система равносильна следующей:

Уравнение $x=1$ задает вертикальную прямую, проходящую через точку (1; 0)

Уравнение $y=1$ задает горизонтальную прямую, проходящую через точку (0; 1)

Уравнение $y= 4+ \sqrt{2}-x$ задает прямую, угловой коэффициент которой равен — 1, пересекающую ось ординат в точке $(0; 4+\ \sqrt{2}).$

Условия $x - 1 \geq 0$ и $y - 1 \geq 0$ задают область, находящуюся выше прямой у = 1 и правее прямой х = 1, включая границу области.

Условие ${\left(x-1\right)}^2+\ {\left(y-1\right)}^2\ne {\rm 0\ }$ означает, что х и у не равны нулю одновременно. Точка А(1; 1) не удовлетворяет ОДЗ и на чертеже будет выколотой.

Изобразим на координатной плоскости $x0y$ множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы.

На рисунке Е — точка пересечения прямых х = 1 и $y=4+ \sqrt{2}-x$ , F — точка пересечения прямых у = 1 и $y= 4+ \sqrt{2}-x.$ Координаты точки $E (3+\sqrt{2}1),$ координаты точки $F (13+\sqrt{2})$ .

Треугольник АEF — прямоугольный с гипотенузой EF и катетами АE и AF.

График второго уравнения системы — окружность с центром $(a; a)$ и радиусом b. Центр этой окружности лежит на прямой $y=x$ .

Переформулируем условие задачи: при каких значениях параметра a найдется окружность с центром в точке $(a; a)$ и радиусом b, имеющая с графиком первого уравнения ровно 3 общие точки?

Иными словами, где на прямой $y=x$ должен быть расположен центр окружности радиуса b, чтобы окружность имела ровно 3 общие точки с графиком первого уравнения?

Заметим, что график первого уравнения симметричен относительно прямой у = х.

Действительно, если пара $(m; n)$ является решением первого уравнения, то и пара $(n:m)$ является ее решением

Следовательно, для того чтобы система имела нечетное количество решений, необходимо, чтобы решением была пара чисел, у которой $x=y$ , то есть задаваемая вторым уравнением окружность должна проходить через точку С — середину отрезка EF. Точка А не подойдет — она выколотая.

Найдем, в каких случаях заданная вторым уравнением окружность проходит через точку С и пересекает каждый катет треугольника AEF (или продолжение этого катета) ровно 1 раз.

1 случай. Окружность вписана в треугольник AEF. Ее центром является точка Р.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле $r=\frac{a+b-c}{2}$ .

Длины катетов АЕ и АF равны $2+\ \sqrt{2}$ , гипотенуза EF равна $AE\cdot \sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$ , радиус $b = 1, a=2$ .

2 случай. Так называемая вневписанная окружность треугольника AEF, касающаяся его гипотенузы и продолжений катетов. Ее центр — точка Q. Радиус этой окружности b и соответствующее значение $a$ найдем из подобия прямоугольных треугольников OPN и OQM.

$\frac{{\rm O}P}{{\rm PN}}=\ \frac{{\rm OQ}}{{\rm QM}}\$ , причем

$QM=b+1, OQ=OP+PC+QC=2\sqrt{2}+1+b$ .

Получим, что для вневписанной окружности радиус $b = 3+2\sqrt{2\ }$ и ${a} = 4+2\sqrt{2}.\$

3 случай. Окружность с центром в точке $(a; a)$ касается отрезка EF в точке С и пересекает катеты АE и AF каждый в одной точке. Это происходит, когда окружность пересечет прямую y=x второй раз в точке (1; 1) или ниже ее.

Если окружность с центром в точке $(a; a)$ пересекает прямую y=x второй раз в точке (1; 1), то ее центром является точка Т $\left ( \frac{6+\sqrt{2}}{4};\frac{6+\sqrt{2}}{4} \right )$ — середина отрезка АС. Тогда $a=\frac{6+\sqrt{2}}{4}$ , $b=\frac{1+\sqrt{2}}{2}.$

Если $a \textless \frac{6+\sqrt{2}}{4}$ , то окружность, касающаяся EF, пересекает катеты AE и AF каждый в одной точке, т.е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае $b=2\sqrt{2}+1-a\sqrt{2})$ .

Если $\ \ \frac{\ \ 6+\sqrt{2}}{4}\textless {\rm \ }a\ \textless 2,\$ то есть центр окружности лежит выше точки Т и ниже точки Р, окружность пересекает каждый катет дважды, и число решений больше трех.

Ответ: $a=2;\: a=4+2\sqrt{2};\: a\leq\frac{6+\sqrt{2}}{4}$

Смотреть все задачи варианта

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 18, Вариант 1 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 02.10.2023

Задание 18, Вариант 1 — разбор решения задачи

Это полезно