Авторская задача При каких значениях параметра а найдется такое значение параметра b > 0, что система уравнений
\(\left\{\ \begin{matrix}
\frac{\sqrt{x-1}\ \sqrt{y-1}\ \left(4+\ \sqrt{2}-x-y\right)}{{\left({\rm x}{\rm -}{\rm 1}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +\ }{\left({\rm y}{\rm -}1\right)}^{{\rm 2}}}=0 \\
\ \ \\
{\left({\rm x}{\rm -}{\rm a}\right)}^{{\rm 2}}{\rm +\ }{\left({\rm y}{\rm -}a\right)}^{{\rm 2}}{\rm =\ }b^{{\rm 2}} \end{matrix}
\right. \)
имеет ровно три различных решения?
Решение:
В первом уравнении нет параметра. Посмотрим на него: в левой части дробь, в правой ноль. Значит, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен. Наша система равносильна следующей:
Уравнение \(x=1\) задает вертикальную прямую, проходящую через точку (1; 0)
Уравнение \(y=1\) задает горизонтальную прямую, проходящую через точку (0; 1)
Уравнение \(y= 4+ \sqrt{2}-x\) задает прямую, угловой коэффициент которой равен — 1, пересекающую ось ординат в точке \((0; 4+\ \sqrt{2}). \)
Условия \(x - 1 \geq 0\) и \(y - 1 \geq 0\) задают область, находящуюся выше прямой у = 1 и правее прямой х = 1, включая границу области.
Условие \({\left(x-1\right)}^2+\ {\left(y-1\right)}^2\ne {\rm 0\ }\) означает, что х и у не равны нулю одновременно. Точка А(1; 1) не удовлетворяет ОДЗ и на чертеже будет выколотой.
Изобразим на координатной плоскости \(x0y\) множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы.
На рисунке Е — точка пересечения прямых х = 1 и \(y=4+ \sqrt{2}-x\), F — точка пересечения прямых у = 1 и \(y= 4+ \sqrt{2}-x.\) Координаты точки\( E (3+\sqrt{2}1),\) координаты точки \(F (13+\sqrt{2})\).
Треугольник АEF — прямоугольный с гипотенузой EF и катетами АE и AF.
График второго уравнения системы — окружность с центром \((a; a)\) и радиусом b. Центр этой окружности лежит на прямой \(y=x\).
Переформулируем условие задачи: при каких значениях параметра a найдется окружность с центром в точке \((a; a)\) и радиусом b, имеющая с графиком первого уравнения ровно 3 общие точки?
Иными словами, где на прямой \(y=x\) должен быть расположен центр окружности радиуса b, чтобы окружность имела ровно 3 общие точки с графиком первого уравнения?
Заметим, что график первого уравнения симметричен относительно прямой у = х.
Действительно, если пара \((m; n)\) является решением первого уравнения, то и пара \((n:m)\) является ее решением
Следовательно, для того чтобы система имела нечетное количество решений, необходимо, чтобы решением была пара чисел, у которой \(x=y\), то есть задаваемая вторым уравнением окружность должна проходить через точку С — середину отрезка EF. Точка А не подойдет — она выколотая.
Найдем, в каких случаях заданная вторым уравнением окружность проходит через точку С и пересекает каждый катет треугольника AEF (или продолжение этого катета) ровно 1 раз.
1 случай. Окружность вписана в треугольник AEF. Ее центром является точка Р.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле \(r=\frac{a+b-c}{2}\).
Длины катетов АЕ и АF равны \(2+\ \sqrt{2}\), гипотенуза EF равна \(AE\cdot \sqrt{2}=2+2\sqrt{2}\), радиус \(b = 1, a=2\).
2 случай. Так называемая вневписанная окружность треугольника AEF, касающаяся его гипотенузы и продолжений катетов. Ее центр — точка Q. Радиус этой окружности b и соответствующее значение \(a\) найдем из подобия прямоугольных треугольников OPN и OQM.
\(\frac{{\rm O}P}{{\rm PN}}=\ \frac{{\rm OQ}}{{\rm QM}}\ \), причем
\(QM=b+1, OQ=OP+PC+QC=2\sqrt{2}+1+b\).
Получим, что для вневписанной окружности радиус \(b = 3+2\sqrt{2\ }\) и \({a} = 4+2\sqrt{2}.\ \)
3 случай. Окружность с центром в точке \((a; a)\) касается отрезка EF в точке С и пересекает катеты АE и AF каждый в одной точке. Это происходит, когда окружность пересечет прямую y=x второй раз в точке (1; 1) или ниже ее.
Если окружность с центром в точке \((a; a)\) пересекает прямую y=x второй раз в точке (1; 1), то ее центром является точка Т \(\left ( \frac{6+\sqrt{2}}{4};\frac{6+\sqrt{2}}{4} \right )\) — середина отрезка АС. Тогда \(a=\frac{6+\sqrt{2}}{4}\), \(b=\frac{1+\sqrt{2}}{2}.\)
Если \(a \textless \frac{6+\sqrt{2}}{4}\), то окружность, касающаяся EF, пересекает катеты AE и AF каждый в одной точке, т.е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае \(b=2\sqrt{2}+1-a\sqrt{2})\).
Если \(\ \ \frac{\ \ 6+\sqrt{2}}{4}\textless {\rm \ }a\ \textless 2,\ \) то есть центр окружности лежит выше точки Т и ниже точки Р, окружность пересекает каждый катет дважды, и число решений больше трех.
Ответ: \(a=2;\: a=4+2\sqrt{2};\: a\leq\frac{6+\sqrt{2}}{4}\)
