Авторская задача При каких значениях параметра а найдется такое значение параметра b > 0, что система уравнений
имеет ровно три различных решения?
Решение:
В первом уравнении нет параметра. Посмотрим на него: в левой части дробь, в правой ноль. Значит, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен. Наша система равносильна следующей:
Уравнение задает вертикальную прямую, проходящую через точку (1; 0)
Уравнение задает горизонтальную прямую, проходящую через точку (0; 1)
Уравнение задает прямую, угловой коэффициент которой равен — 1, пересекающую ось ординат в точке
Условия и
задают область, находящуюся выше прямой у = 1 и правее прямой х = 1, включая границу области.
Условие означает, что х и у не равны нулю одновременно. Точка А(1; 1) не удовлетворяет ОДЗ и на чертеже будет выколотой.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы.
На рисунке Е — точка пересечения прямых х = 1 и , F — точка пересечения прямых у = 1 и
Координаты точки
координаты точки
.
Треугольник АEF — прямоугольный с гипотенузой EF и катетами АE и AF.
График второго уравнения системы — окружность с центром и радиусом b. Центр этой окружности лежит на прямой
.
Переформулируем условие задачи: при каких значениях параметра a найдется окружность с центром в точке и радиусом b, имеющая с графиком первого уравнения ровно 3 общие точки?
Иными словами, где на прямой должен быть расположен центр окружности радиуса b, чтобы окружность имела ровно 3 общие точки с графиком первого уравнения?
Заметим, что график первого уравнения симметричен относительно прямой у = х.
Действительно, если пара является решением первого уравнения, то и пара
является ее решением
Следовательно, для того чтобы система имела нечетное количество решений, необходимо, чтобы решением была пара чисел, у которой , то есть задаваемая вторым уравнением окружность должна проходить через точку С — середину отрезка EF. Точка А не подойдет — она выколотая.
Найдем, в каких случаях заданная вторым уравнением окружность проходит через точку С и пересекает каждый катет треугольника AEF (или продолжение этого катета) ровно 1 раз.
1 случай. Окружность вписана в треугольник AEF. Ее центром является точка Р.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле .
Длины катетов АЕ и АF равны , гипотенуза EF равна
, радиус
.
2 случай. Так называемая вневписанная окружность треугольника AEF, касающаяся его гипотенузы и продолжений катетов. Ее центр — точка Q. Радиус этой окружности b и соответствующее значение найдем из подобия прямоугольных треугольников OPN и OQM.
, причем
.
Получим, что для вневписанной окружности радиус и
3 случай. Окружность с центром в точке касается отрезка EF в точке С и пересекает катеты АE и AF каждый в одной точке. Это происходит, когда окружность пересечет прямую y=x второй раз в точке (1; 1) или ниже ее.
Если окружность с центром в точке пересекает прямую y=x второй раз в точке (1; 1), то ее центром является точка Т
— середина отрезка АС. Тогда
,
Если , то окружность, касающаяся EF, пересекает катеты AE и AF каждый в одной точке, т.е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае
.
Если то есть центр окружности лежит выше точки Т и ниже точки Р, окружность пересекает каждый катет дважды, и число решений больше трех.
Ответ:
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 18, Вариант 1 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 02.10.2023