Авторская задача Найдите все значения параметра \(a\), для каждого из которых область значений функции
\(y=2^{2x^2-4x}-a\cdot 2^{x^2-2x+1}-a^2\)
содержит число 0.
Решение:
Сформулируем условие немного по-другому. Надо найти все значения параметра a, при которых уравнение \(y\left(x\right)=0\) имеет хотя бы одно решение. Рассмотрим уравнение
\(2^{{2x}^2-4x}-a\cdot 2^{x^2-2x+1}-a^2=0.\)
Сделаем замену: \(t=2^{x^2-2x}.\)
Получим уравнение: \(t^2-2at-a^2=0\)
Типичная ошибка, которую в этот момент делают многие старшеклассники, — забывают оценить t и переформулировать условие. Давайте сделаем это.
Очевидно, 
. Но это не всё. Оценим сначала показатель z = z(x) в выражении \(t=2^{x^2-2x}.\)
\(z\left(x\right)=x^2-2x=\ x^2-2x+1-1={\left(x-1\right)}^2-1\ge -1.\) Мы выделили в выражении для \(z\) полный квадрат и нашли, что \(z\ge -1.\)
Тогда \(t=2^z\ge 2^{-1},\ \ \ t\ge \frac{1}{2}.\)
Теперь задача формулируется так:
Найдём, при каких значениях параметра a уравнение \(t^2-2at-a^2=0\\) имеет хотя бы одно решение на интервале \(t\ge \frac{1}{2}.\)
Если \(a=0,\\) получим, что \(t^2=0,\) \(t=0\) — не удовлетворяет условию \(t\ge \frac{1}{2}.\)
Значит, \(a\ne 0\) и 
тогда 
По теореме Виета, 
следовательно, уравнение имеет корни разных знаков. Дискриминант 
при всех \(a\ne 0\)
Мы получили, что уравнение \({\ t}^2-2at-a^2=0\) имеет 2 корня, причем только один из них положителен. Пусть это корень \(t_2.\) Нам нужно, чтобы выполнялось условие: \(t_2\ge \frac{1}{2}.\)
Это условие означает, что \(y\left(\frac{1}{2}\right)\le 0.\)
Подставив \(t=\frac{1}{2}\) в уравнение \({\ t}^2-2at-a^2=0,\) получим условие для параметра:
\(\frac{1}{4}-a-a^2\le 0;\)
\(a^2+a-\frac{1}{4}\ge 0;\)
\({4a}^2+4a-1\ge 0;\)
Найдём корни уравнения \({4a}^2+4a-1=0.\)
\(D=16+16=32, \sqrt{D}=4\sqrt{2};\)
\(a=\frac{-4\pm 4\sqrt{2}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{2}}{2}\)
\({4a}^2+4a-1\ge 0,\) если \(a\ge \frac{\sqrt{2}-1}{2}\) или \(a\le \frac{-2-\sqrt{2}}{2}.\)
Ответ: \(x\in \left(-\infty ;\ \frac{-2-\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}-1}{2};\ +\infty \right).\)
