Авторская задача. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение \({\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ }\) имеет единственное решение на отрезке \([0; \frac{\pi }{{\rm 2}}]\).
Решение:
\({\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ }\)
Один из способов решения таких уравнений — метод введения дополнительного угла. Разделим обе части уравнения на 2.
\(\frac{1}{2}sint+\frac{\sqrt{3}}{2}cost=\frac{a}{2} \)
Заметим, что
\(\frac{1}{2}=cos\frac{\pi}{3};\ \frac{\sqrt{3}}{2}=sin\frac{\pi}{3}.\)
Получим:
\(cos\frac{\pi}{3}sint+sin\frac{\pi}{3}cost=\frac{\alpha}{2}\).
По формуле синуса суммы,
\(sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\alpha}{2} \)
Сделаем замену: \(x=cost,\ y=sint. \)
Такая замена бывает удобна при решении тригонометрических уравнений с параметром. Очевидно, что \(x^2+y^2=1\), поскольку \({cos}^2t+{sin}^2t=1.\ \)
Если t принадлежит отрезку \([0; \frac{\pi }{{\rm 2}}]\), то \(cost\ge 0\\) и \( sint\ge 0\). Это значит, что \(x\ge 0\ \) и \(y\ge 0.\)
Получим систему:
\(\left\{ \begin{array}{c}
y+\sqrt{3}x=a \\
x^2+y^2=1 \\
x\ge 0 \\
y\ge 0\ \end{array}
\right. \)
Решим систему графически.
Первое уравнение \(y=-\sqrt{3}x+a\) задает прямую с угловым коэффициентом \(k=-\sqrt{3}\), пересекающую ось OY в точке с координатами \((0; a).\)
Остальные три условия задают дугу окружности с центром в начале координат и радиусом 1.
Найдем, при каких значениях параметра система имеет единственное решение.
Прямая \(y=-\sqrt{3}x+a\) — проходит через точку \(B\left(0;1\right)\) или выше точки B и при этом ниже точки \(A\left(1;0\right). \)
Подставим координаты точки \(B\left(0;1\right)\) в уравнение прямой \(y=-\sqrt{3}x+a.
\)
Для точки \(B\left(0;1\right)\) получим значение параметра: \(\ a=1.\)
Подставим координаты точки \(A\left(1;0\right)\) в уравнение прямой \(y=-\sqrt{3}x+a.\)
Для точки \(A\left(1;0\right)\) получим: \(a=\sqrt{3}.\)
Значит, при \(a\in \left[1;\left.\sqrt{3}\right)\right. \) уравнение \({\sin t+\sqrt{3}\ }{\cos t=a\ }\) имеет единственное решение на отрезке \([0; \frac{\pi }{{\rm 2}}].\)
2) Единственное решение будет также в случае касания окружности \(x^2+y^2=1\ \) и прямой \( y=-\sqrt{3}x+a\) в точке C.
Пусть прямая \( y=-\sqrt{3}x+a, \) проходящая через точку С, пересекает оси Х и Y в точках Е и F соответственно. \(\vartriangle OEF\) — прямоугольный; \(\angle OEF=90^{\circ} .\)
Угловой коэффициент прямой равен тангенсу ее наклона к положительному направлению оси Х, то есть \(-\sqrt{3},\ \) поэтому \(tg\ \angle OEF=\sqrt{3}\) и \(\angle OEF = 60^{\circ}.\)
Высота ОС треугольника ОЕF равна радиусу единичной окружности, \(OC=1.\)
Из \(\vartriangle OCE:\ \ OC=1,\ CE=\frac{1}{\sqrt{3}};\ OE=\frac{2}{\sqrt{3}}.\)
Из \(\vartriangle FOE:\ \ OF=\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=2.\ \)
Значит, в случае касания прямой и окружности в точке C значение параметра
Ответ: а = 2 или \(1\leq a\textless \sqrt{3}\)
