previous arrow
next arrow
Slider

Задание 19, Вариант 1 — разбор решения задачи

У Бори нет источника воды, но есть три ведра различных объемов, в двух из которых есть вода. За один шаг Боря переливает воду из ведра, в котором она есть, в другое ведро. Переливание заканчивается в тот момент, когда или первое ведро опустеет, или второе заполнится. Выливать воду из ведер запрещается.

а) Мог ли Боря через несколько шагов получить в одном из ведер ровно 2 литра воды, если сначала у него были ведра объемом 4 литра и 7 литров, полные воды, а также пустое ведро объемом 8 литров?

б) Мог ли Боря через несколько шагов получить равные объемы воды во всех ведрах, если сначала у него были ведра объемами 5 литров и 7 литров, полные воды, а также пустое ведро объемом 10 литров?

в) Сначала у Бори были ведра объемами 3 литра и 6 литров, полные воды, а также пустое ведро о бъемом n литров. Какое наибольшее натуральное значение может принимать n, если известно, что Боря смог получить через несколько шагов ровно 4 литра воды в одном из ведер?

Решение:

а) Да, получить ровно 2 литра воды можно. У Бори 11 литров воды и ведра объемом 4, 7 и 8 литров. Вначале количество воды в ведрах: 4; 7; 0.

После первых двух переливаний: 0; 4; 7.

Следующие шаги: 4; 4; 3 (Боря отлил из третьего ведра в первое),

1; 7; 3 (из первого во второе),

1; 2; 8 (из второго в третье).

Заметим, что в результате каждого переливания мы получаем либо полное ведро, либо пустое. Конечно, Боря может разлить воду по ведрам так, что они будут частично наполнены. Но информации о том, сколько воды в каждом ведре, у него не будет.

Мы можем сказать, сколько литров воды в ведре, только если оно полное или если пустое.

б) Нет, сделать это невозожно. У Бори 12 литров воды и ведра объемами 5, 7 и 10 литров. Если разлить 12 литров воды по трем ведрам, в каждом окажется по 4 литра воды — и ни одно из ведер не будет полным. Ведра на 4 литра у Бори нет, и отмерить ровно 4 литра он не сможет.

в) У Бори 9 литров воды и ведра объемами 3, 6 и n литров.

Если n\textgreater 9, то есть объем третьего ведра больше 9 литров, Боря никак не сможет его наполнить. Все, что он сможет сделать, — это переливать из ведра в ведро «порции» воды по 3 и 6 литров. В первом ведре может быть только 3 литра или пусто. Во втором 0, 3 или 6 литров, в третьем 0, 3. 6 или 9 литров. В этом случае 4 литра ни в одном из ведер получить невозможно.

Если n = 9, получить 4 литра в каком-либо ведре также невозможно.

Мы получили, что n \geq 8. Это оценка. Приведем пример для n = 8. У Бори есть У Бори ведра объемами 3 и 6 литров, полные воды, и пустое ведро на 8 литров. Запишем в виде троек чисел количества воды в ведрах на каждом шаге:

3; 6; 0

0; 3; 6 (после первых двух переливаний)

0; 1; 8 (из второго в третье)

3; 1; 5 (из третьего в первое)

0; 4; 5 (из первого во второе). Теперь во втором ведре 4 литра, цель достигнута.

Ответ:

а) Да,

б) Нет,

в) 8.

Смотреть все задачи варианта