19. На доске написаны 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.
Решение:
а) Пусть на доске записаны только кратные 5 числа. Какого они цвета?
По условию задачи, они зеленые, верно? Но не все так просто. Числа, которые делятся и на 5, и на 7, могут быть или красные, или зеленые. Например, среди чисел на доске могут быть зеленое число 35 и красное число 35. При этом все зеленые числа различны между собой.
Оценим сумму зеленых чисел на доске. Так как все они различны, их сумма не меньше, чем сумма арифметической прогрессии с первым членом \( a_1=5\) и разностью \(d=5.\)
Если все числа на доске – зеленые, то их сумма S не меньше, чем 5 + 10 + 15 …
\(S\geq S_{30}, \) где \(S_{30}=\frac{2\cdot a_1+(n-1)d}{2}\cdot n=\frac{10+29\cdot 5}{2}\cdot 30=2325.\)
Можно ли сделать так, что сумма чисел на доске будет меньше, чем 2325? Очевидно, не все они должны быть зелеными. Заменим, например, зеленое число 40 на красное число 35. Сумма 29 оставшихся зелёных чисел и красного числа 35 будет равна
При этом на доске написаны только кратные 5 числа.
б) Если только одно число на доске красное, то оставшиеся 29 чисел должны быть зеленые. Сумма 29 различных чисел, которые делятся на 5, не меньше, чем сумма 29 членов арифметической прогрессии с первым членом \( a_1=5\) и разностью \(d=5.\)
\(S\geq S_{29}, \) где 
Значит, если на доске 29 зеленых чисел и только одно красное число, сумма всех чисел не может быть равна 1467.
в) Пусть сумма всех чисел на доске равна 1467. В пункте (б) мы показали, что если только одно из чисел на доске красное, сумма всех чисел на доске будет больше, чем 1467.
Пусть \(n\) – количество красных чисел на доске. Тогда количество зелёных равно \(30-n.\)
Тогда сумма красных чисел 
не меньше, чем сумма \(n\) членов арифметической прогрессии с первым членом равным 7 и разностью равной 7.
Сумма зеленых чисел 
не меньше, чем сумма \(30-n\) членов арифметической прогрессии с первым членом равным 5 и разностью 5.
Сумма всех чисел на доске 
Получим:
Решив это квадратичное неравенство и учитывая, что \(n\in N\), получим:
\(10\leq n\leq 15.\)
Количество красных чисел на доске не менее 10. Это оценка.
Напомним, что в задачах такого типа часто используются следующие приемы: сравнение с суммой арифметической прогрессии и метод «Оценка плюс пример». Осталось привести пример для \(n = 10.\)
Возьмем 30 зеленых чисел, образующих арифметическую прогрессию с первым членом равным 5 и разностью 5. Тридцатый член этой прогрессии равен 150.
5, 10, 15, 20 … 150.
Заменим 9 последних членов этой прогрессии на красные числа, также образующие арифметическую прогрессию с первым членом 7 и разностью 7.
150 заменим на 7, 145 на 14, 140 на 21, 135 на 28, 130 на 35, 125 на 42, 120 на 49, 115 на 56, 110 на 63.
Теперь сумма чисел, записанных на доске, равна
Заменим 80 на 77. Получим сумму:
Мы подобрали пример для \(n=10.\) Значит, наименьшее количество красных чисел при сумме всех чисел 1467 равно 10.
Ответ:
а) да
б) нет
в) 10
