а) Представьте число \(\frac{33}{100}\) в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число \( \frac{15}{91}\) в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел \(m\) и \(n,\) для которых \(m\le n\) и \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14} .\)
Решение:
а) Пример подобрать легко, поскольку \(\frac{1}{10}=\frac{10}{100},\ \frac{1}{5}=\frac{20}{100},\ \frac{1}{20}=\frac{5}{100},\ \frac{1}{25}=\frac{4}{100}\dots\)
Возьмем \(\frac{25}{100}+\frac{5}{100}+\frac{4}{100}-\frac{1}{100}=\frac{33}{100}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{3}{100}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{1}{100}+\frac{1}{50}.
\)
б) Пример: \(\ \ \frac{15}{91}=\frac{1}{7}+\frac{1}{91}+\frac{1}{182}+\frac{1}{273}+\frac{1}{546};\)
Как подобран пример?
Заметим, что \(91\ =\ 13\cdot 7; \)
\(\frac{1}{7}=\frac{13}{91}; \frac{1}{13}=\frac{7}{91} \) (их сумма больше, чем \(\frac{15}{91}). \)
Сложив \(\frac{13}{91}\) и \(\frac{1}{91}\), получим \(\frac{14}{91}.\)
Как «собрать» \(\frac{1}{91}\)?
\( \frac{1}{91}\ =\ \frac{1}{91}\ \cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})=\frac{1}{182}+\ \frac{1}{273}+\frac{1}{546}. \)
в) Найдем все возможные пары (m; n), такие, что \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14}.\)
Условие \(m\le n\ \) означает, что \(\frac{1}{m}\ge \ \frac{1}{n}\). Если \(\frac{1}{m}=\ \frac{1}{n}\), то \(m=n\ =\ 28\). Значит, \(n\ge 28\).
Приведем левую часть уравнения \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14}\) к одному знаменателю.
\( \frac{m+n}{mn}=\frac{1}{14}, \)
\(14m+14n=mn, \)
\(m\ =\ \frac{14n}{n-14}\ =\frac{14n\ -\ 196\ +\ 196}{n-14}\ =\ \frac{14\ +\ 196}{n-14},\) m - целое.
Это значит, что \(n - 14\) — делитель числа 196.
Делители числа 196:
1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196.
Выпишем возможные значения для \(n - 4,\) а также \(n\) и \(m,\) учитывая, что \(n \geq 28.\)
| n - 4 | n | m |
| 14 | 28 | 28 |
| 28 | 42 | 21 |
| 49 | 63 | 18 |
| 98 | 112 | 16 |
| 196 | 210 | 15 |
Для каждой из этих пар (m; n) выполняется условие \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14}.\)
Ответ:
а) \(\frac{33}{100}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{1}{100}+\frac{1}{50}\)
б) \(\frac{15}{91}=\frac{1}{7}+\frac{1}{91}+\frac{1}{182}+\frac{1}{273}+\frac{1}{546};\)
в) (28; 28); (21; 42); (18; 63); (16; 112); (15; 210).
