Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 69 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,6, по иностранному языку — 0,6 и по обществознанию — 0,9.
Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение:
Для того, чтобы поступить хотя бы на одну из этих специальностей, необходимо сдать и русский, и математику не менее чем на 69 баллов.
События «сдать ЕГЭ по математике не ниже, чем на 69 баллов» и «сдать ЕГЭ по русскому языку не ниже, чем на 69 баллов» независимы. Вероятность их произведения (то есть наступления и того, и другого события) равна произведению их вероятностей: \(P_1=\ 0,6\cdot 0,6=0,36.\)
Помимо этого, нужно сдать иностранный язык (И) или обществознание (О) не менее, чем на 69 баллов. Обозначим вероятность этого события \(P_{2.}\)
События «сдать ЕГЭ по иностранному не ниже, чем на 69 баллов» и «сдать ЕГЭ по обществознанию не ниже, чем на 69 баллов» совместны — то есть может произойти и то, и другое.
Поэтому вероятность события «сдать не ниже 69 баллов ЕГЭ по иностранному или по обществознанию» 
Почему из суммы вероятностей события мы вычитаем вероятность их произведения?
Представим, что круг слева соответствует множеству возможных исходов события «сдать не ниже 69 баллов ЕГЭ по иностранному», а круг справа — множеству возможных исходов события «сдать не ниже 69 баллов ЕГЭ по обществознанию». Пересечение этих множеств соответствует событию «сдать не ниже 69 баллов и иностранный, и обществознание».
А прямоугольник, в котором эти круги расположены, соответствует множеству всех возможных исходов этих двух экзаменов.
Тогда вероятность сдать или иностранный, или обществознание, или и то, и другое не ниже 69 баллов равна отношению площади фигуры, состоящей из двух пересекающихся кругов, к площади прямоугольника. Очевидно, что площадь области, где пересекаются два круга, придется вычесть — чтобы не считать ее дважды. Можно сказать, что мы вывели формулу для вероятности суммы совместных событий и познакомились с геометрической вероятностью.
Вероятность того, что набраны баллы для поступления или на специальность «Лингвистика», или на специальность «Коммерция», или на обе этих специальности, равна \(P_1\cdot P_2=0,36\cdot 0,96=0,3456\).
Ответ: 0,3456.
