Найдите корень уравнения: \({\cos \frac{\pi(x+1)}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\ }\) В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решение:
Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.
1) Сделаем замену \(\frac{\pi\left(x+1\right)}{4}=t.\) Получим: \({\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}.\ }\)
Получаем решения: \(t=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in Z\). Вернемся к переменной \(x\).
\(\frac{\pi(x+1)}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in Z\). Поделим обе части уравнения на \(\pi \) и умножим на 4.
\(x+1=\pm 1+8n,\ n\in Z\)
Первой серии принадлежат решения -8; 0; 8
Вторая серия включает решения -2; 6; 14...
Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это x = -2.
Ответ: -2.
