Авторская задача. В прямоугольном треугольнике АВС угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла С, равен \(30^{\circ}\). Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ выразите в градусах.
Решение:
Пусть угол ВАС треугольника АВС равен \( \alpha. \)
Высота прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла С, делит треугольник АВС на два подобных ему треугольника — АСН и СВН.
Значит, \(\angle HCB=\angle BAC=\alpha.\)
Медиана СМ прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, треугольник САМ равнобедренный, \(\angle ACM=\angle BAC=\alpha.\)
Получим: \(\angle HCB+\angle ACM=2 \alpha =\angle ACB-\ \angle HCM=\ {90}^{\circ}-{\ 30}^{\circ}={\rm 6}0^{\circ}\)
Отсюда \(\alpha =30^{\circ}\)
Ответ: 30.
