Для десятичной записи числа используется обозначение \(\overline{abc}\). Означает это, что в данном числе \(a\) сотен, \(b\) десятков и \(c\) единицы.
\(A=\overline{abc}=100a+10b+c.\)
1. Пусть \(\overline{ab}\) обозначает двузначное число, равное \(10a + b,\) где \(a\) и \(b\) – десятичные цифры, \(a\neq 0.\)
а) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры \(a, b, c\) и \(d,\) что \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99\)?
б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые десятичные цифры \(a, b, c\) и \(d,\) что \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=693,\) если среди цифр \(a, b, c\) и \(d\) есть цифра \(7\)?
в) Какое наибольшее значение может принимать выражение \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc},\) если среди цифр \(a, b, c\) и \(d\) есть цифры \(5\) и \(7\)?
Решение:
Распишем выражение \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}.\)
\(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=(10a+b)\cdot (10c+d)-(10b+a)\cdot (10d+c)=99(ac-bd)\), откуда следует, что такая разность делится на \(99\).
а) Пусть \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99 ,\) т. е. \(99(ac-bd)=99 \Leftrightarrow ac-bd=1 .\) Подберём ненулевые попарно различные цифры, удовлетворяющие этому уравнению, например, \(a=4,\: c=2,\: b=1,\: d=7 .\)
Действительно, \(41\cdot 27-14\cdot 72=1107-1008=99 .\)
Да, существуют.
б) Пусть \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=693\) и среди цифр \(a, b, c, d\) есть \(7\).
\(99(ac-bd)=693 \Leftrightarrow ac-bd=7 .\)
Пусть \(a=7\) или \(c=7 ,\) тогда \(ac\, \vdots \, 7\) и \(bd=ac-7\) должно делиться на \(7\).
\(7\) — простое число, поэтому \(b\, \vdots \, 7\) или \(d\, \vdots \, 7 .\) Но среди цифр, отличных от \(7\), нет делящихся на \(7\), а \(7\) мы уже использовали. Значит, такая ситуация невозможна.
Аналогично рассматривается случай, когда \(b=7\) или \(d=7.\) Таких цифр не существует.
Нет, не существуют.
в) \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99(ac-bd) ,\) поэтому наибольшее его значение получается при наибольшем значении выражения \(ac-bd=A .\)
Так как среди цифр есть \(5\) и \(7\), то рассмотрим разные случаи расположения \(5\) и \(7\).
1) Пусть \(5\) и \(7\) среди цифр \(a\) и \(c .\)
Так как все цифры различны и среди них нет 0 (в исходном выражении каждая из цифр побывала на первом месте в двузначном числе), то \(bd\geq 1\cdot 2=2 ,\) поэтому \(A=ac-bd\leq 5\cdot 7-1\cdot 2=33,\: \: \: \underline{A\leq 33} .\)
2) Пусть \(5\) и \(7\) среди цифр \(b\) и \(d .\) Тогда \(A=ac-bd\leq 9\cdot 8-5\cdot 7=37,\: \: \: \underline{A\leq 37} .\)
3) Пусть \(5\) среди цифр \(a\) и \(c\), а \(7\) среди цифр \(b\) и \(d .\) Тогда \(A=ac-bd\leq 9\cdot 5-1\cdot 7=38,\: \: \: \underline{A\leq 38} .\)
4) Пусть \(7\) среди цифр \(a\) и \(c\), а \(5\) среди цифр \(b\) и \(d\) . Тогда \(A=ac-bd\leq 9\cdot 7-5\cdot 1=58,\: \: \: \underline{A\leq 58} .\)
Наилучшая оценка получается в последнем случае.
Пример для \(A=58 .\) Пусть \(a=7, \; c=9, \; b=5, \; d=1,\) тогда \(A=ac-bd=9\cdot 7-5 \cdot 1 =58 .\)
Значит, наибольшее значение \(\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99(ac-bd)=99\cdot 58=5742 .\)
Ответ: а) Да. б) Нет. в) 5742.
2. Сумма цифр трехзначного числа \(A\) равна \(S\).
а) Может ли произведение \(A\cdot S\) быть равно \(3250\)?
б) Может ли произведение \(A\cdot S\) быть равно \(1591\)?
в) Найдите наименьшее трехзначное число такое что произведение числа и суммы его цифр больше, чем \(3497\).
Решение:
\(A=100a+10b+c;\)
\(a+b+c=S.\)
а) \(A \cdot S = 3250.\)
\(\left ( 100a +10b+c \right ) \cdot \left ( a+b+c \right )=3250 ;\)
да, может, \(325 \cdot \left ( 3+2+5 \right )=3250.\)
б) Предположим, что
\(A \cdot S = 1591;\)
\(\left ( 100 a +10b +c \right )\left ( a+b+c \right )=1591;\)
\(1591=1600-9=40^2 - 3^2 = 37 \cdot 43.\)
Тогда
\(100a+10b+c=37, \; a+b+c=43\) – невозможно, так как \(a,\; b, \; c\) – цифры;
или
\(100a+10b+c=43,\) \(a+b+c=37\) – невозможно по той же причине, \(a+b+c\leq 27;\) противоречие,
нет, не может быть.
в) Найдем наименьшее \(A\), для которого \(A \cdot S > 3497.\)
Число \(3497\) – не делится на \(3, 5, 7, 11;\)
проверим \(13:\)
\(3497=13 \cdot 269.\)
Если \(\displaystyle A \cdot S > 3497,\) то \(\displaystyle A > \frac{3497}{S}=\frac{269 \cdot 13}{S};\)
\(\displaystyle \frac{A}{13} > \frac{269}{S}.\)
Так как \(S=a+b+c\leq 9+9+9=27,\)
\(\displaystyle \frac{1}{S}\geq \frac{1}{27};\)
\(\displaystyle \frac{A}{13} > \frac{269}{S}\geq \frac{269}{27};\)
\(\displaystyle \frac{A}{13} > \frac{269}{27};\)
\(\displaystyle \frac{A}{13} > \frac{270-1}{27}=10-\frac{1}{27};\)
\(\displaystyle A > 130-\frac{13}{27},\) т. к. \(A\) целое, \(A > 130.\)
Пусть \(a = 1\); если \(b = 3\), то
\(131 \leq A \leq 139,\) тогда \(4 \leq S \leq 13,\)
\(A \cdot S \leq 139 \cdot 13< 3497 = 269 \cdot 13.\)
Если \(b = 4,\) \(140\leq A\leq 149,\)
\(5\leq S \leq 14,\)
\(A \cdot S \leq 149 \cdot 14< 150 \cdot 14 = 2100 < 3497.\)
Если \(b = 5,\)
\(150 \leq A \leq 159,\)
\(6 \leq S \leq 15,\)
\(A \cdot S \leq 159 \cdot 15< 160 \cdot 15 = 2400< 3497;\)
Если \(b = 6,\)
\(160 \leq A \leq 169,\)
\(7 \leq S \leq 16,\)
\(A \cdot S \leq 169 \cdot 16< 170 \cdot 20< 3497;\)
Аналогично, если \(b = 7\), то
\(A \cdot S \leq 179 \cdot 17< 180 \cdot 17 \leq 180\cdot 18 = 3250< 3497;\)
если \(b = 8\), то
\(A \cdot S \leq 189 \cdot 18< 190 \cdot 18 = 3420;\)
если \(b = 9\),
\(A \cdot S \leq 199 \cdot 19 = \left ( 200 - 1 \right )\left ( 20-1 \right )=4000-220-1=3781,\)
\(3781 > 3497,\)
\(b = 9\) – может быть.
Проверим \(b = 9, \; c = 8; \; A = 198\)
\(SA=198 \cdot 18 = \left ( 200-2 \right )\left ( 20-2 \right )=\)
\(=4000-400-40+4=3564> 3497\) – подходит;
если \(c = 7, \)
\(S \cdot A = 197 \cdot 17 = \left ( 200-3 \right )\left ( 20-3 \right )=\)
\(=4000-600-60+9< 3497,\) значит, \(A_{min}=198.\)
Ответ: \(198.\)
3. а) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на \(250\)?
б) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на \(8750\)?
в) Найдите все такие натуральные числа \(n\), что каждое из чисел \(n\), \(n+1\), \(n+2\) трёхзначное, а десятичная запись их произведения оканчивается на \(4000\).
Решение:
а) Рассмотрим числа \(n,n+1,n+2.\) Предположим, что их произведение оканчивается на \(250\), тогда
\(\underbrace{n\cdot \left(n+1\right)\cdot \left(n+2\right)}_{a_1\cdot a_2\cdot a_3} = 1000A+250 = 250\left(4A+1\right) =2\cdot 125\cdot \left(4A+1\right) = 2\cdot 5^3\cdot \left(4A+1\right).\)
В разложении на множители только одна двойка, значит, только один из сомножителей является чётным, им может быть только \(a_2.\) Из трёх последовательных чисел только одно может делиться на \(5\), оно же в нашем случае должно делиться и на \(125\).
\(125\) — самое маленькое из трёхзначных чисел, делящихся на \(125\).
Пусть \(a_1 = 125,a_2 = 126,a_3 = 127,\) тогда их произведение \(\Pi = 2000250,\) что удовлетворяет условию задачи.
Да, может.
б) Аналогично случаю (а) предположим, что такое произведение оканчивается на \(8750\):
\(a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}=10000A+8750=125(80A+70)=5^{4}\cdot 2\cdot \underbrace{(8A+7)}_{нечетное}.\)
Тогда \(a_2\vdots 2\) и не делится на \(4\), а \(a_1\) и \(a_3\) — нечетные, только одно может делиться на \(5^{4}=625.\) Из трёхзначных чисел только \(625\) делится на \(625\). Рассмотрим два случая.
1) \(a_1 = 625,a_2 = 626,a_3 = 627, \ \Pi = 245313750\) не подходит.
2) \(a_3 = 625,a_2 = \underbrace{624}_{\vdots 4},a_1 = 623\) не подходит, так как \(624\) делится на \(4\).
Нет, не может.
в) Пусть \(a_1\cdot a_2\cdot a_3 = 10000A+4000 = 2000\left(5A+2\right) = 5^3\cdot 2^4\cdot \left(5A+2\right).\) Одно из чисел делится на \(125\).
Рассмотрим разные случаи, помня, что произведение \(\Pi\) должно делиться на \(16=2^4\) и не должно делиться на большую степень двойки. Степень двойки легко находится для каждого сомножителя.
1)
| \(125\) | \(126\) | \(127\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) | |
| \(124\) | \(125\) | \(126\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) | |
| \(123\) | \(124\) | \(125\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) |
2)
| \(250\) | \(251\) | \(252\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) | |
| \(249\) | \(250\) | \(251\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) | |
| \(248\) | \(249\) | \(250\) | \(\Pi \vdots 16 = 2^4\) | \(\Pi=15438000\) |
3)
| \(375\) | \(376\) | \(377\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) | |
| \(374\) | \(375\) | \(376\) | \(\Pi \vdots 16 = 2^4\) | \(\Pi=52734000\) |
| \(373\) | \(374\) | \(375\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) |
4)
| \(500\) | \(501\) | \(502\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) | |
| \(499\) | \(500\) | \(501\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) | |
| \(498\) | \(499\) | \(500\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) |
5) Одно из чисел делится на \(625\). Можно не проверять, так как \(625 = 5^4.\)
6)
| \(750\) | \(751\) | \(752\) | \(\Pi \vdots 16 = 2^4\) | \(\Pi=423564000\) |
| \(749\) | \(750\) | \(751\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) | |
| \(748\) | \(749\) | \(750\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) |
7)
| \(875\) | \(876\) | \(877\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) | |
| \(874\) | \(875\) | \(876\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) | |
| \(873\) | \(874\) | \(875\) | \(\Pi\) не \(\vdots 16=2^{4}\) |
Больше трехзначных чисел, кратных \(125\), нет. Получили \(n = 374, \; n = 750\).
Ответ: а) Да, может. б) Нет, не может. в) \(n = 374, \; n = 750.\)
4. Для любого натурального числа \(n (n \geq 1)\) обозначим через \(O (n)\) количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа.
Например, \(O (123) = 2\), а \(O (2048) = 0.\)
а) Существует ли такое натуральное число \(n \), что \(O (4 \cdot n)=O(n)+2\)?
б) Существует ли такое натуральное число \(n \), что \(O (5^n +2^{n+1} -2)> n\)?
в) Для какого наименьшего натурального числа \(n \) выполнено равенство \(O (11 \cdot n)=O(n)+2\)?
Решение:
а) Да, такое может быть.
Например, \(n=88, \: \:\) \(4n=352.\)
В числе \(88\) нет нечетных цифр, в числе \(352\) есть \(2\) нечетные цифры, \(O (4 \cdot 88)=O(88)+2\).
б) Заметим, что если \(n\) — однозначное число, то \(n < 10,\)
если \(n\) — двузначное, то \(n < 100,\)
если \(n\) \(k\)-значное (в нем \(k\) цифр), то \(n < 10^k.\)
Оценим выражение \(A=5^n +2^{n+1}-2.\)
Сравним \(A\) и \(10^n.\)
Покажем, что
\(5^n + 2^{n+1}-2 < 10^n;\)
\(5^n + 2 \cdot 2^n - 10^n < 2;\)
\(\underline{5^n} +2\cdot2^n-\underline{5^n\cdot 2^n}< 2;\)
\(5^n (1-2^n)< 2(1-2^n);\)
\(5^n (1-2^n)- 2(1-2^n)< 0.\)
Разложим левую часть на множители:
\((5^n -2)(2^n-1)> 0.\)
Это неравенство выполняется для всех \(n \geq 1,\) так как \(5^n > 2,\: \:\) \(2^n > 1.\)
А значит, что \(5^n +2\cdot 2^n -2 < 10^n.\)
Это означает, что в числе \(A\) не может быть больше \(n\) цифр, то есть число \(A\) — не более чем \(k\)-значное.
Мы получили, что в числе \(A=5^n +2^{n+1} - 2\) не более \(n\) цифр, следовательно, в нем не более \(n\) нечетных цифр, и неравенство
\(O(5^n +2^{n+1} -2)> n\) не может выполняться, ответ — нет.
в) Например, это равенство выполнено для \(n=87.\)
\(O(11 \cdot 87)=O(87)+2,\) так как \(11 \cdot 87 = 957 \) — \(3\) нечетные цифры.
Найдем наименьшее \(n\), для которого выполнено равенство.
Предположим, что \(n\) — однозначное, \(n\leq 9.\) Тогда \(11n\leq 99\) — двузначное, и количество нечетных цифр в числах \(11n\) и \(n\) не может различаться на две.
Пусть \(n\) — двузначное, \(n=10a+b=\overline{ab}.\)
При умножении числа \(\overline{ab}\) на \(11\) получится число \(\overline{a\:\: \: \: a+b\:\:\: \: b}\) или число \(\overline{a+1\:\: \: \: a+b-10\:\:\: \: b}\).
Случай, когда \(a\) и \(b\) четны, не подходит (не получим \(4\) нечетные цифры).
Если \(a\) и \(b\) нечетны, то \(a+ 1\) – четно, \(a + b – 10\) – четно, т. е. не получается \(4\) нечетные цифры.
Если \(a\) нечетно, а \(b\) четно, то \(a + 1\) – четно, \(a + b – 10\) – четно, т. е. не получается \(4\) нечетные цифры.
Пусть \(b\) нечетная цифра, \(a\) четная.
Тогда \(a+b-10\) — нечетно, \(a+1\) — нечетно.
Будем искать число \(n = \overline{ab}\) среди таких чисел, для которых
\(11 \cdot \overline{ab} = \overline{a\:\: \: \: a+b-10\:\:\: \: b}.\)
Тогда \(a+b-10\geq 0,\) то есть \(a+b\geq 10.\)
Но \(a+b=10\) не подходит (\(O\) — четное), значит, \(a+b\geq 11.\)
Возьмем \(a+b=11,\) причем \(b\) — нечетное. Наименьшее из таких чисел: \(29\).
\(29 \cdot 11 = 319,\)
\(O(319)=O(29)+2.\)
Если \(21< n< 29,\) то \(a+b< 11.\)
Если \(11< n< 19,\) то \(a+b< 11.\)
Число \(10\) и \(20\) не подходят, в них обе цифры четные. Значит, \(n_{min}=29.\)
Ответ:
а) Да. б) Нет. в) \(29.\)
