Молекулярная физика. Расчетная задача
В. З. Шапиро
Это задание также относится к высокому уровню сложности. Как правило, тематика этого задания «МКТ» и «Термодинамика». Какие-то задачи требуют только формульного решения, какие-то необходимо сопровождать графическими пояснениями термодинамических процессов. В любом случае, теоретический материал полностью соответствует кодификатору элементов содержания и спецификации контрольных измерительных материалов.
1. В вертикальном цилиндре, закрытом лёгким поршнем, находится бензол\((C_{6}H_{6}),\) при температуре кипения \(t = 80 ^\circ C.\) При сообщении бензолу некоторого количества теплоты часть его превращается в пар, который при изобарном расширении совершает работу, поднимая поршень. Удельная теплота парообразования бензола \(L = 396 \cdot 10^{3}\) Дж/кг, а его молярная масса \(M = 78\cdot 10^{-3}\) кг/моль. Какая часть подводимого к бензолу количества теплоты идёт на увеличение внутренней энергии системы? Объёмом жидкого бензола и трением между поршнем и цилиндром пренебречь.
Необходимая теория:
Дано: «СИ»
\(t = 80 ^\circ C; \) \(T=353 K;\)
\(L= 396 \cdot 10^{3}\) Дж/кг;
\(M = 78\cdot 10^{3}\) кг/моль.
Найти: \(\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}\) — ?
Решение:
Запишем первый закон термодинамики для изобарного процесса:
\(Q=\Delta U+A'.\)
Выразим из этого равенства изменение внутренней энергии:
\(\triangle U=Q - A' .\)
Для \(\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}\) запишем:
\(\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=\frac{Q - A'}{Q}=1 - \frac{A'}{Q}\) (1).
Работу газа в изобарном процессе можно рассчитать по формуле:
\(A'=p\Delta V,\) с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона получим:
\(\displaystyle A'=p\Delta V=\frac{\Delta m}{M}RT\) (2).
При совершении работы давление бензола не изменяется, так как поршень в цилиндре легкоподвижный. Давление бензола все время остается равным атмосферному.
При этом
\(\Delta m \)– масса бензола, превратившегося в газообразное состояние.
Количество теплоты, которое идет на превращение бензола в это состояние можно рассчитать по формуле:
\(Q=\Delta m\cdot L (3).\)
Выражение для работы бензола (2) и количества теплоты (3) подставим в уравнение (1).
\(\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=1 - \frac{\frac{\Delta m}{M}RT}{\Delta m\cdot L} .\)
После сокращения на \(\Delta m,\) получим искомую формулу:
\(\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=1 - \frac{RT}{M\cdot L}.\)
Подставим численные значения и проведем расчет:
\(\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=1 - \frac{8,31\cdot 353}{78\cdot {10}^{-3 }\cdot 396\cdot {10}^{-3 }}\approx 0,905.\)
Ответ: 0,905.
Секрет решения. На первый взгляд задача кажется несложной, но в ней «спрятаны» несколько искусственных приемов, до которых додуматься достаточно сложно. Первый прием – выражение \(\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=\frac{Q-A'}{Q} = 1 - \frac{A'}{Q}.\) Это математический ход, который сразу подсказывает, что конкретно надо находить в этой задаче.
Второй прием – получение равенства, используя уравнения Менделеева-Клапейрона \(\displaystyle A'=p\Delta V=\frac{\Delta m}{M}RT.\) Здесь надо придерживаться следующих рассуждений: если в левой части уравнения есть переменная величина (в этой задаче \(\Delta V\)), то и в правой части должна изменяться какая-то физическая величина (в этой задаче \(\Delta m\)). Можно сказать еще проще: если в левой части равенства есть знак дельта "\(\Delta\) ", то и в правой части он должен обязательно появиться. В крайнем случае, можно «перебрать» все величины из правой части: температура не может изменяться, так как при парообразовании она всегда постоянна; молярная масса также неизменна, потому что речь идет об одном и том же газе; R – табличная величина. Остается только \(\Delta m.\) Эти рассуждения помогут понять ситуацию, описанную в задаче и правильно ее решить.
2. Одно и то же постоянное количество одноатомного идеального газа расширяется из одного и того же начального состояния \(p_{1}, V_{1}\) до одного и того же конечного объёма \(V_{2}\) первый раз по изобаре 1–2, а второй по адиабате 1–3 (см. рисунок). Отношение работы газа в процессе 1–2 к работе газа в процессе 1–3 равно \(\displaystyle \frac{A'_{12}}{A'_{13}}\)=к=2. Чему равно отношение х количества теплоты \(Q_{12},\) полученного газом от нагревателя в ходе процесса 1–2, к модулю изменения внутренней энергии газа \(\left|U_{3} - U_{1} \right|\) в ходе процесса 1–3?
Необходимая теория:
Дано:
1–2 р=const;
2–3 Q=const;
\(\displaystyle \frac{A'_{12}}{A'_{13}}\) =к=2.
Найти: \(\displaystyle \frac{Q_{12}}{\left|\ U_3 - U_1\right|}?\)
Решение:
Для участка 1–2 применим первый закон термодинамики с учетом изобарного процесса.
\(Q_{12}=A'_{12}+{\Delta U}_{12} (1).\)
Работу газа при расширении найдем как площадь прямоугольника под графиком.
\(A'_{12}=p_1\left(V_2 - V_1\right) (2).\)
Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа запишем в виде формулы:
\(\displaystyle {\Delta U}_{12}=\frac{3}{2}\vartheta R\left(T_2 - T_1\right) (3).\)
Применим уравнение Менделеева-Клапейрона:
\(p\Delta V=\vartheta R\Delta T. \)
Тогда (3) примет вид:
\(\displaystyle {\Delta U}_{12}=\frac{3}{2}\left(\vartheta RT_2 - \vartheta RT_1\right)=\frac{3}{2}\left(p_1V_2 - p_1V_1\right)=\frac{3}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right)\) (4).
Таким образом количество теплоты на участке 12 равно:
\(\displaystyle Q_{12}=p_1\left(V_2 - V_1\right)+\frac{3}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right)=\frac{5}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right)\) (5).
Для участка 1–3 применим первый закон термодинамики с учетом адиабатного процесса.
\(Q_{13}=A'_{13}+{\Delta U}_{13} ,\) но так как \(Q_{13}=0,\) запишем:
\(0=A'_{13}+{\Delta U}_{13}\) или \(A'_{13}= -{\Delta U}_{13}.\) Это выражение означает, что газ на участке 13 совершает работу за счет уменьшения своей внутренней энергии.
Учтем, что по условию \(\displaystyle \frac{A'_{12}}{A'_{13}}\)=к=2, тогда:
\( - \displaystyle {\Delta U}_{13}=A'_{13}=\frac{A'_{12}}{2}=\frac{p_1\left(V_2 - V_1\right)}{2} (6).\)
Используя (5) и (6) получим искомую формулу:
\(\displaystyle \frac{Q_{12}}{\left|\ U_3 - U_1\right|}=\frac{Q_{12}}{| - {\Delta U}_{13}|}=\frac{\frac{5}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right)}{\frac{p_1\left(V_2 - V_1\right)}{2}}=\frac{5}{2}:\frac{1}{2}=5.\)
Ответ: 5.
Секрет решения. Несмотря на громоздкие расчеты и обилие разных индексов в уравнениях, задача является среднего уровня сложности. Надо знать:
- первый закон термодинамики;
- его применение к изопроцессам;
- формулы, выражающие работу газа и его внутреннюю энергию (только для одноатомного идеального газа);
- уметь «читать» графики;
- понимать, что при расширении газ совершает положительную работу, при сжатии – отрицательную работу;
- проводить рассуждения о том, откуда газ берет энергию для совершения работы (за счет своей внутренней энергии или за счет поступления энергии извне);
- указанные пункты описывать соответствующими уравнениями.
Суть любой задачи по физике – описание физических процессов математическими уравнениями, которые надо решить удобным (рациональным) способом.
3. В тепловом двигателе 1 моль одноатомного разряженного газа совершает цикл 1–2–3–4–1, показанный на графике в координатах p–T, где p – давление газа, Т – абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.
Дано:
\(T_{2} =T_{4} = 2T_{1}.\)
Найти: \(\eta \)– ?
Решение:
КПД теплового двигателя определяется формулой:
– полезная работа, совершенная газом за цикл, Q – полученное за цикл количество теплоты. Можно графически рассчитать работу, если перерисовать данный цикл в координатах рV. Проведем анализ каждого процесса.
12: V=const, p↑, T↑;
23: p=const, T↑, V↑;
34: V=const, p↓, T↓;
41: p=const, T↓, V↓.
В координатах рV график будет иметь вид:
Работа газа за цикл будет определяться площадью прямоугольника 1-2-3-4.
Учтем, что \(T_{2} =T_{4} = 2T_{1}.\)
Поэтому \(p_2=2p_1\) (на основании закона Шарля).
\(V_3=V_4={2V}_2={2V}_1\) (на основании закона Гей-Люссака).
Таким образом, можно выразить полезную работу через \(p_1\) и \(V_1.\)
Газ получает положительное количество теплоты на участках 1–2 и 2–3.
\(Q=Q_{12}+Q_{23}.\)
Применим к этим участкам первый закон термодинамики.
\(Q_{12}=\Delta U_{12}+A'_{12}.\)
Но работа газа на этом участке равна нулю, так как процесс изохорный.
\(\displaystyle Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\vartheta R\left(T_2 - T_1\right)=\frac{3}{2}(\vartheta RT_2 - \vartheta RT_1).\)
С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона \(p_1V_1= \vartheta RT_1\) и \(p_2V_2= \vartheta RT_2\) получим:
\(\displaystyle Q_{12}=\frac{3}{2}\left(p_2V_2 - p_1V_1\right)=\frac{3}{2}\left(2p_1V_1 - p_1V_1\right)=\frac{3}{2}p_1V_1=1,5p_1V_1 \) (2).
Для участка 23 первый закон термодинамики примет вид:
\(Q_{23}=\Delta U_{23}+A'_{23}\)
Работа определяется площадью прямоугольника под участком 23.
\(A'_{23}=p_2\left(V_3 - V_1\right)=2p_1\left(2V_1 - -V_1\right)=2p_1V_1 (3).\)
\(\displaystyle \Delta U_{23}=\frac{3}{2} \vartheta R\left(T_3 - T_2\right)=\frac{3}{2}(\vartheta RT_3 - \vartheta RT_2) \) (4).
С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона (4) примет вид:
\(\displaystyle \Delta U_{23}=\frac{3}{2}\left(p_3V_3 - p_2V_2\right)=\frac{3}{2}\left(2p_1\cdot 2V_1 - 2p_1\cdot V_1\right)=\frac{3}{2}\cdot 2p_1\cdot V_1=3p_1V_1 \) (5).
Таким образом, полученное количество теплоты на участке 23 равно:
\(Q_{23}=2p_1V_1+3p_1V_1=5p_1V_1.\)
Общее количество теплоты, полученное за цикл:
\(Q=1,5p_1V_1+5p_1V_1=6,5p_1V_1\) (6).
Полученные выражения из (1) и (6) подставим в формулу КПД.
Ответ: 15,3%.
Секрет решения. За задачи на определение КПД тепловой машины по графику надо получать максимальные 3 балла. Эти задания сопровождаются большими расчетами, поэтому на первое место надо ставить внимательность их выполнения.
Необходимо выделить следующие моменты в решении:
- определять работу графически можно только в координатах рV;
- если в условии дан график в других координатах, то его надо перечертить в рV;
- поэтапно применять первый закон термодинамики и газовые законы для всех процессов;
- свести в единую формулу полученные данные для расчета КПД.
