previous arrow
next arrow
Slider

Задание 30 ЕГЭ по физике

Молекулярная физика. Расчетная задача

В. З. Шапиро

Это задание также относится к высокому уровню сложности. Как правило, тематика этого задания «МКТ» и «Термодинамика». Какие-то задачи требуют только формульного решения, какие-то необходимо сопровождать графическими пояснениями термодинамических процессов. В любом случае, теоретический материал полностью соответствует кодификатору элементов содержания и спецификации контрольных измерительных материалов.

1. В вертикальном цилиндре, закрытом лёгким поршнем, находится бензол(C_{6}H_{6}), при температуре кипения t = 80 ^\circ C. При сообщении бензолу некоторого количества теплоты часть его превращается в пар, который при изобарном расширении совершает работу, поднимая поршень. Удельная теплота парообразования бензола L = 396 \cdot 10^{3} Дж/кг, а его молярная масса M = 78\cdot 10^{-3} кг/моль. Какая часть подводимого к бензолу количества теплоты идёт на увеличение внутренней энергии системы? Объёмом жидкого бензола и трением между поршнем и цилиндром пренебречь.

Необходимая теория:

Первый закон термодинамики

Внутренняя энергия

Дано:                                                          «СИ»

t = 80 ^\circ C;                                 T=353 K;

L= 396 \cdot 10^{3} Дж/кг;

M = 78\cdot 10^{3} кг/моль.

Найти: \displaystyle \frac{\Delta U}{Q} — ?

Решение:

Запишем первый закон термодинамики для изобарного процесса:
Q=\Delta U+A

Выразим из этого равенства изменение внутренней энергии:
\triangle U=Q - A

Для \displaystyle \frac{\Delta U}{Q} запишем:

\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=\frac{Q - A (1).

Работу газа в изобарном процессе можно рассчитать по формуле:

A с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона получим:
\displaystyle A (2).
При совершении работы давление бензола не изменяется, так как поршень в цилиндре легкоподвижный. Давление бензола все время остается равным атмосферному.

При этом
\Delta m –  масса бензола, превратившегося в газообразное состояние.

Количество теплоты, которое идет на превращение бензола в это состояние можно рассчитать по формуле:

Q=\Delta m\cdot L (3).

Выражение для работы бензола (2) и количества теплоты (3) подставим в уравнение (1).

\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=1 - \frac{\frac{\Delta m}{M}RT}{\Delta m\cdot L} .

После сокращения на \Delta m, получим искомую формулу:
\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=1 - \frac{RT}{M\cdot L}.

Подставим численные значения и проведем расчет:

\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=1 - \frac{8,31\cdot 353}{78\cdot {10}^{-3 }\cdot 396\cdot {10}^{-3 }}\approx 0,905.

Ответ: 0,905.

Секрет решения. На первый взгляд задача кажется несложной, но в ней «спрятаны» несколько искусственных приемов, до которых додуматься достаточно сложно. Первый прием – выражение \displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=\frac{Q-A Это математический ход, который сразу подсказывает, что конкретно надо находить в этой задаче.

Второй прием – получение равенства, используя уравнения Менделеева-Клапейрона \displaystyle A Здесь надо придерживаться следующих рассуждений: если в левой части уравнения есть переменная величина (в этой задаче \Delta V), то и в правой части должна изменяться какая-то физическая величина (в этой задаче \Delta m). Можно сказать еще проще: если в левой части равенства есть знак дельта "\Delta ", то и в правой части он должен обязательно появиться. В крайнем случае, можно «перебрать» все величины из правой части: температура не может изменяться, так как при парообразовании она всегда постоянна; молярная масса также неизменна, потому что речь идет об одном и том же газе; R – табличная величина. Остается только \Delta m. Эти рассуждения помогут понять ситуацию, описанную в задаче и правильно ее решить.

2. Одно и то же постоянное количество одноатомного идеального газа расширяется из одного и того же начального состояния p_{1}, V_{1} до одного и того же конечного объёма V_{2} первый раз по изобаре 1–2, а второй по адиабате 1–3 (см. рисунок). Отношение работы газа в процессе 1–2 к работе газа в процессе 1–3 равно \displaystyle \frac{A=к=2. Чему равно отношение х количества теплоты Q_{12}, полученного газом от нагревателя в ходе процесса 1–2, к модулю изменения внутренней энергии газа \left|U_{3} - U_{1} \right| в ходе процесса 1–3?

Необходимая теория:

Первый закон термодинамики

Внутренняя энергия

Изопроцессы

Дано:

12 р=const;

23 Q=const;
\displaystyle \frac{A =к=2.
Найти: \displaystyle \frac{Q_{12}}{\left|\ U_3 - U_1\right|}?

Решение:

Для участка 12 применим первый закон термодинамики с учетом изобарного процесса.

Q_{12}=A

Работу газа при расширении найдем как площадь прямоугольника под графиком.

A

Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа запишем в виде формулы:

\displaystyle {\Delta U}_{12}=\frac{3}{2}\vartheta R\left(T_2 - T_1\right) (3).
Применим уравнение Менделеева-Клапейрона:

p\Delta V=\vartheta R\Delta T.

Тогда (3) примет вид:

\displaystyle {\Delta U}_{12}=\frac{3}{2}\left(\vartheta RT_2 - \vartheta RT_1\right)=\frac{3}{2}\left(p_1V_2 - p_1V_1\right)=\frac{3}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right) (4).

Таким образом количество теплоты на участке 12 равно:

\displaystyle Q_{12}=p_1\left(V_2 - V_1\right)+\frac{3}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right)=\frac{5}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right) (5).

Для участка 13 применим первый закон термодинамики с учетом адиабатного процесса.

Q_{13}=A но так как Q_{13}=0, запишем:

0=A или A Это выражение означает, что газ на участке 13 совершает работу за счет уменьшения своей внутренней энергии.

Учтем, что по условию \displaystyle \frac{A=к=2, тогда:

- \displaystyle {\Delta U}_{13}=A

Используя (5) и (6) получим искомую формулу:

\displaystyle \frac{Q_{12}}{\left|\ U_3 - U_1\right|}=\frac{Q_{12}}{| - {\Delta U}_{13}|}=\frac{\frac{5}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right)}{\frac{p_1\left(V_2 - V_1\right)}{2}}=\frac{5}{2}:\frac{1}{2}=5.

Ответ: 5.

Секрет решения. Несмотря на громоздкие расчеты и обилие разных индексов в уравнениях, задача является среднего уровня сложности. Надо знать:

- первый закон термодинамики;

- его применение к изопроцессам;

- формулы, выражающие работу газа и его внутреннюю энергию (только для одноатомного идеального газа);

- уметь «читать» графики;

- понимать, что при расширении газ совершает положительную работу, при сжатии – отрицательную работу;

- проводить рассуждения о том, откуда газ берет энергию для совершения работы (за счет своей внутренней энергии или за счет поступления энергии извне);

- указанные пункты описывать соответствующими уравнениями.

Суть любой задачи по физике – описание физических процессов математическими уравнениями, которые надо решить удобным (рациональным) способом.

3. В тепловом двигателе 1 моль одноатомного разряженного газа совершает цикл 1–2–3–4–1, показанный на графике в координатах p–T, где p – давление газа, Т – абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.

Дано:

T_{2} =T_{4} = 2T_{1}.

Найти: \eta – ?

Решение:

КПД теплового двигателя определяется формулой:

 – полезная работа, совершенная газом за цикл, Q – полученное за цикл количество теплоты. Можно графически рассчитать работу, если перерисовать данный цикл в координатах рV. Проведем анализ каждого процесса.

12: V=const, p↑, T↑;

23: p=const, T↑, V↑;

34: V=const, p↓, T↓;

41: p=const, T↓, V↓.

В координатах рV график будет иметь вид:

Работа газа за цикл будет определяться площадью прямоугольника 1-2-3-4.

Учтем, что T_{2} =T_{4} = 2T_{1}.

Поэтому p_2=2p_1 (на основании закона Шарля).

V_3=V_4={2V}_2={2V}_1 (на основании закона Гей-Люссака).

Таким образом, можно выразить полезную работу через p_1 и V_1.

Газ получает положительное количество теплоты на участках 12 и 23.
Q=Q_{12}+Q_{23}.

Применим к этим участкам первый закон термодинамики.
Q_{12}=\Delta U_{12}+A

Но работа газа на этом участке равна нулю, так как процесс изохорный.
\displaystyle Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\vartheta R\left(T_2 - T_1\right)=\frac{3}{2}(\vartheta RT_2 - \vartheta RT_1).

С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона p_1V_1= \vartheta RT_1 и p_2V_2= \vartheta RT_2 получим:

\displaystyle Q_{12}=\frac{3}{2}\left(p_2V_2 - p_1V_1\right)=\frac{3}{2}\left(2p_1V_1 - p_1V_1\right)=\frac{3}{2}p_1V_1=1,5p_1V_1 (2).

Для участка 23 первый закон термодинамики примет вид:

Q_{23}=\Delta U_{23}+A
Работа определяется площадью прямоугольника под участком 23.

A

\displaystyle \Delta U_{23}=\frac{3}{2} \vartheta R\left(T_3 - T_2\right)=\frac{3}{2}(\vartheta RT_3 - \vartheta RT_2)  (4).

С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона (4) примет вид:

\displaystyle \Delta U_{23}=\frac{3}{2}\left(p_3V_3 - p_2V_2\right)=\frac{3}{2}\left(2p_1\cdot 2V_1 -  2p_1\cdot V_1\right)=\frac{3}{2}\cdot 2p_1\cdot V_1=3p_1V_1 (5).

Таким образом, полученное количество теплоты на участке 23 равно:
Q_{23}=2p_1V_1+3p_1V_1=5p_1V_1.

Общее количество теплоты, полученное за цикл:

Q=1,5p_1V_1+5p_1V_1=6,5p_1V_1 (6).

Полученные выражения из (1) и (6) подставим в формулу КПД.

Ответ: 15,3%.

Секрет решения. За задачи на определение КПД тепловой машины по графику надо получать максимальные 3 балла. Эти задания сопровождаются большими расчетами, поэтому на первое место надо ставить внимательность их выполнения.

Необходимо выделить следующие моменты в решении:

- определять работу графически можно только в координатах рV;

- если в условии дан график в других координатах, то его надо перечертить в рV;

- поэтапно применять первый закон термодинамики и газовые законы для всех процессов;

- свести в единую формулу полученные данные для расчета КПД.