Задание 30 ЕГЭ по физике

Молекулярная физика. Расчетная задача

В. З. Шапиро

Это задание также относится к высокому уровню сложности. Как правило, тематика этого задания «МКТ» и «Термодинамика». Какие-то задачи требуют только формульного решения, какие-то необходимо сопровождать графическими пояснениями термодинамических процессов. В любом случае, теоретический материал полностью соответствует кодификатору элементов содержания и спецификации контрольных измерительных материалов.

1. В вертикальном цилиндре, закрытом лёгким поршнем, находится бензол $(C_{6}H_{6}),$ при температуре кипения $t = 80 ^\circ C.$ При сообщении бензолу некоторого количества теплоты часть его превращается в пар, который при изобарном расширении совершает работу, поднимая поршень. Удельная теплота парообразования бензола $L = 396 \cdot 10^{3}$ Дж/кг, а его молярная масса $M = 78\cdot 10^{-3}$ кг/моль. Какая часть подводимого к бензолу количества теплоты идёт на увеличение внутренней энергии системы? Объёмом жидкого бензола и трением между поршнем и цилиндром пренебречь.

Необходимая теория:

Первый закон термодинамики

Внутренняя энергия

Дано: «СИ»

$t = 80 ^\circ C;$ $T=353 K;$

$L= 396 \cdot 10^{3}$ Дж/кг;

$M = 78\cdot 10^{3}$ кг/моль.

Найти: $\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}$ — ?

Решение:

Запишем первый закон термодинамики для изобарного процесса:
$Q=\Delta U+A$

Выразим из этого равенства изменение внутренней энергии:
$\triangle U=Q - A$

Для $\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}$ запишем:

$\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=\frac{Q - A$ (1).

Работу газа в изобарном процессе можно рассчитать по формуле:

$A$ с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона получим:
$\displaystyle A$ (2).
При совершении работы давление бензола не изменяется, так как поршень в цилиндре легкоподвижный. Давление бензола все время остается равным атмосферному.

При этом
$\Delta m$ – масса бензола, превратившегося в газообразное состояние.

Количество теплоты, которое идет на превращение бензола в это состояние можно рассчитать по формуле:

$Q=\Delta m\cdot L (3).$

Выражение для работы бензола (2) и количества теплоты (3) подставим в уравнение (1).

$\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=1 - \frac{\frac{\Delta m}{M}RT}{\Delta m\cdot L} .$

После сокращения на $\Delta m,$ получим искомую формулу:
$\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=1 - \frac{RT}{M\cdot L}.$

Подставим численные значения и проведем расчет:

$\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=1 - \frac{8,31\cdot 353}{78\cdot {10}^{-3 }\cdot 396\cdot {10}^{-3 }}\approx 0,905.$

Ответ: 0,905.

Секрет решения. На первый взгляд задача кажется несложной, но в ней «спрятаны» несколько искусственных приемов, до которых додуматься достаточно сложно. Первый прием – выражение $\displaystyle \frac{\Delta U}{Q}=\frac{Q-A$ Это математический ход, который сразу подсказывает, что конкретно надо находить в этой задаче.

Второй прием – получение равенства, используя уравнения Менделеева-Клапейрона $\displaystyle A$ Здесь надо придерживаться следующих рассуждений: если в левой части уравнения есть переменная величина (в этой задаче $\Delta V$ ), то и в правой части должна изменяться какая-то физическая величина (в этой задаче $\Delta m$ ). Можно сказать еще проще: если в левой части равенства есть знак дельта " $\Delta$ ", то и в правой части он должен обязательно появиться. В крайнем случае, можно «перебрать» все величины из правой части: температура не может изменяться, так как при парообразовании она всегда постоянна; молярная масса также неизменна, потому что речь идет об одном и том же газе; R – табличная величина. Остается только $\Delta m.$ Эти рассуждения помогут понять ситуацию, описанную в задаче и правильно ее решить.

2. Одно и то же постоянное количество одноатомного идеального газа расширяется из одного и того же начального состояния $p_{1}, V_{1}$ до одного и того же конечного объёма $V_{2}$ первый раз по изобаре 1–2, а второй по адиабате 1–3 (см. рисунок). Отношение работы газа в процессе 1–2 к работе газа в процессе 1–3 равно $\displaystyle \frac{A$ =к=2. Чему равно отношение х количества теплоты $Q_{12},$ полученного газом от нагревателя в ходе процесса 1–2, к модулю изменения внутренней энергии газа $\left|U_{3} - U_{1} \right|$ в ходе процесса 1–3?

Необходимая теория:

Первый закон термодинамики

Внутренняя энергия

Изопроцессы

Дано:

1–2 р=const;

2–3 Q=const;
$\displaystyle \frac{A$ =к=2.
Найти: $\displaystyle \frac{Q_{12}}{\left|\ U_3 - U_1\right|}?$

Решение:

Для участка 1–2 применим первый закон термодинамики с учетом изобарного процесса.

$Q_{12}=A$

Работу газа при расширении найдем как площадь прямоугольника под графиком.

$A$

Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа запишем в виде формулы:

$\displaystyle {\Delta U}_{12}=\frac{3}{2}\vartheta R\left(T_2 - T_1\right) (3).$
Применим уравнение Менделеева-Клапейрона:

$p\Delta V=\vartheta R\Delta T.$

Тогда (3) примет вид:

$\displaystyle {\Delta U}_{12}=\frac{3}{2}\left(\vartheta RT_2 - \vartheta RT_1\right)=\frac{3}{2}\left(p_1V_2 - p_1V_1\right)=\frac{3}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right)$ (4).

Таким образом количество теплоты на участке 12 равно:

$\displaystyle Q_{12}=p_1\left(V_2 - V_1\right)+\frac{3}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right)=\frac{5}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right)$ (5).

Для участка 1–3 применим первый закон термодинамики с учетом адиабатного процесса.

$Q_{13}=A$ но так как $Q_{13}=0,$ запишем:

$0=A$ или $A$ Это выражение означает, что газ на участке 13 совершает работу за счет уменьшения своей внутренней энергии.

Учтем, что по условию $\displaystyle \frac{A$ =к=2, тогда:

$- \displaystyle {\Delta U}_{13}=A$

Используя (5) и (6) получим искомую формулу:

$\displaystyle \frac{Q_{12}}{\left|\ U_3 - U_1\right|}=\frac{Q_{12}}{| - {\Delta U}_{13}|}=\frac{\frac{5}{2}p_1\left(V_2 - V_1\right)}{\frac{p_1\left(V_2 - V_1\right)}{2}}=\frac{5}{2}:\frac{1}{2}=5.$

Ответ: 5.

Секрет решения. Несмотря на громоздкие расчеты и обилие разных индексов в уравнениях, задача является среднего уровня сложности. Надо знать:

- первый закон термодинамики;

- его применение к изопроцессам;

- формулы, выражающие работу газа и его внутреннюю энергию (только для одноатомного идеального газа);

- уметь «читать» графики;

- понимать, что при расширении газ совершает положительную работу, при сжатии – отрицательную работу;

- проводить рассуждения о том, откуда газ берет энергию для совершения работы (за счет своей внутренней энергии или за счет поступления энергии извне);

- указанные пункты описывать соответствующими уравнениями.

Суть любой задачи по физике – описание физических процессов математическими уравнениями, которые надо решить удобным (рациональным) способом.

3. В тепловом двигателе 1 моль одноатомного разряженного газа совершает цикл 1–2–3–4–1, показанный на графике в координатах p–T, где p – давление газа, Т – абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.

Дано:

$T_{2} =T_{4} = 2T_{1}.$

Найти: $\eta$ – ?

Решение:

КПД теплового двигателя определяется формулой:

– полезная работа, совершенная газом за цикл, Q – полученное за цикл количество теплоты. Можно графически рассчитать работу, если перерисовать данный цикл в координатах рV. Проведем анализ каждого процесса.

12: V=const, p↑, T↑;

23: p=const, T↑, V↑;

34: V=const, p↓, T↓;

41: p=const, T↓, V↓.

В координатах рV график будет иметь вид:

Работа газа за цикл будет определяться площадью прямоугольника 1-2-3-4.

Учтем, что $T_{2} =T_{4} = 2T_{1}.$

Поэтому $p_2=2p_1$ (на основании закона Шарля).

$V_3=V_4={2V}_2={2V}_1$ (на основании закона Гей-Люссака).

Таким образом, можно выразить полезную работу через $p_1$ и $V_1.$

Газ получает положительное количество теплоты на участках 1–2 и 2–3.
$Q=Q_{12}+Q_{23}.$

Применим к этим участкам первый закон термодинамики.
$Q_{12}=\Delta U_{12}+A$

Но работа газа на этом участке равна нулю, так как процесс изохорный.
$\displaystyle Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\vartheta R\left(T_2 - T_1\right)=\frac{3}{2}(\vartheta RT_2 - \vartheta RT_1).$

С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона $p_1V_1= \vartheta RT_1$ и $p_2V_2= \vartheta RT_2$ получим:

$\displaystyle Q_{12}=\frac{3}{2}\left(p_2V_2 - p_1V_1\right)=\frac{3}{2}\left(2p_1V_1 - p_1V_1\right)=\frac{3}{2}p_1V_1=1,5p_1V_1$ (2).

Для участка 23 первый закон термодинамики примет вид:

$Q_{23}=\Delta U_{23}+A$
Работа определяется площадью прямоугольника под участком 23.

$A$

$\displaystyle \Delta U_{23}=\frac{3}{2} \vartheta R\left(T_3 - T_2\right)=\frac{3}{2}(\vartheta RT_3 - \vartheta RT_2)$ (4).

С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона (4) примет вид:

$\displaystyle \Delta U_{23}=\frac{3}{2}\left(p_3V_3 - p_2V_2\right)=\frac{3}{2}\left(2p_1\cdot 2V_1 - 2p_1\cdot V_1\right)=\frac{3}{2}\cdot 2p_1\cdot V_1=3p_1V_1$ (5).

Таким образом, полученное количество теплоты на участке 23 равно:
$Q_{23}=2p_1V_1+3p_1V_1=5p_1V_1.$

Общее количество теплоты, полученное за цикл:

$Q=1,5p_1V_1+5p_1V_1=6,5p_1V_1$ (6).

Полученные выражения из (1) и (6) подставим в формулу КПД.

Ответ: 15,3%.

Секрет решения. За задачи на определение КПД тепловой машины по графику надо получать максимальные 3 балла. Эти задания сопровождаются большими расчетами, поэтому на первое место надо ставить внимательность их выполнения.

Необходимо выделить следующие моменты в решении:

- определять работу графически можно только в координатах рV;

- если в условии дан график в других координатах, то его надо перечертить в рV;

- поэтапно применять первый закон термодинамики и газовые законы для всех процессов;

- свести в единую формулу полученные данные для расчета КПД.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 30 ЕГЭ по физике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Задание 30 ЕГЭ по физике

Молекулярная физика. Расчетная задача

Это полезно