Задачи на переливание часто встречаются на олимпиадах по математике и иногда - на ЕГЭ. В таких задачах почти нет уравнений и неравенств. Но оказывается, даже в них применяется метод «Оценка плюс пример».
1. У Бори нет источника воды, но есть три ведра различных объемов, в двух из которых есть вода. За один шаг Боря переливает воду из ведра, в котором она есть, в другое ведро. Переливание заканчивается в тот момент, когда или первое ведро опустеет, или второе заполнится. Выливать воду из ведер запрещается.
а) Мог ли Боря через несколько шагов получить в одном из ведер ровно \(2\) литра воды, если сначала у него были ведра объемом \(4\) литра и \(7\) литров, полные воды, а также пустое ведро объемом \(8\) литров?
б) Мог ли Боря через несколько шагов получить равные объемы воды во всех ведрах, если сначала у него были ведра объемами \(5\) литров и \(7\) литров, полные воды, а также пустое ведро объемом \(10\) литров?
в) Сначала у Бори были ведра объемами \(3\) литра и \(6\) литров, полные воды, а также пустое ведро объемом \(n\) литров. Какое наибольшее натуральное значение может принимать \(n\), если известно, что Боря смог получить через несколько шагов ровно \(4\) литра воды в одном из ведер?
Решение:
Боре не позавидуешь! И источника воды у него нет, и выливать воду из ведер запрещено.
Зато пункт (а) решается за \(1\) минуту.
а) Да, получить ровно \(2\) литра воды можно. У Бори \(11\) литров воды и ведра объемом \(4\), \(7\) и \(8\) литров. Вначале количество воды в ведрах: \(4\); \(7\); \(0\).
После первых двух переливаний: \(0\); \(4\); \(7\).
Следующие шаги: \(4\); \(4\); \(3\) (Боря отлил из третьего ведра в первое),
\(1\); \(7\); \(3\) (из первого во второе),
\(1\); \(2\); \(8\) (из второго в третье).
Заметим, что в результате каждого переливания мы получаем либо полное ведро, либо пустое. Конечно, Боря может разлить воду по ведрам так, что они будут частично наполнены. Но информации о том, сколько воды в каждом ведре, у него не будет.
б) Нет, сделать это невозможно. У Бори \(12\) литров воды и ведра объемами \(5\), \(7\) и \(10\) литров. Если разлить \(12\) литров воды по трем ведрам, в каждом окажется по \(4\) литра воды – и ни одно из ведер не будет полным. Ведра на \(4\) литра у Бори нет, и отмерить ровно \(4\) литра он не сможет.
в) У Бори \(9\) литров воды и ведра объемами \(3\), \(6\) и \(n\) литров.
Если \(n >9\), то есть объем третьего ведра больше \(9\) литров, Боря никак не сможет его наполнить. Все, что он сможет сделать, - это переливать из ведра в ведро «порции» воды по \(3\) и \(6\) литров. В первом ведре может быть только \(3\) литра или пусто. Во втором \(0\), \(3\) или \(6\) литров, в третьем \(0\), \(3\), \(6\) или \(9\) литров. В этом случае \(4\) литра ни в одном из ведер получить невозможно.
Если \(n=9\). получить \(4\) литра в каком-либо ведре также невозможно.
Мы получили, что \(n\leq 8\). Это оценка. Приведем пример для \(n= 8\). У Бори ведра объемами \(3\) и \(6\) литров, полные воды, и пустое ведро на \(8\) литров. Запишем в виде троек чисел количества воды в ведрах на каждом шаге:
\(3; 6; 0\).
\(0; 3; 6\) (после первых двух переливаний).
\(0; 1; 8\) (из второго в третье).
\(3; 1; 5\) (из третьего в первое).
\(0; 4; 5\) (из первого во второе). Теперь во втором ведре \(4\) литра, цель достигнута.
В следующей задаче необычная формулировка в пункте (б). Обычно вопрос формулируется так: «Может ли быть...?» А здесь формулировка вопроса: «Всегда ли можно...?»
И ответ на такой вопрос тоже будет необычным.
«Да, можно всегда, потому что»
Или «Нет, не всегда можно, вот пример, когда нельзя.»
2. В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (не обязательно одинаковое). За один раз можно переить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых \(29\), \(32\), \(40\), \(91\) литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в \(26\) бочках?
Решение:
а) Общее количество воды в бочках равно \(29+32+40+91=192\) литра. Мы хотим уравнять количество воды, чтобы в каждой оказалось \(192:4=48\) литров. Сможем ли мы это сделать не более чем за \(4\) переливания? Конечно! Нам и трех переливаний хватит. Из бочки, в которой \(91\) литр, перельем \(19\) литров в первую, \(16\) литров во вторую и \(8\) литров в третью бочку. Готово!
Как мы это сделали? Возможно, померили уровень воды в бочке (мы ведь не знаем, в какой из них \(29\), а в какой \(32\) литра). Или просто «на глаз» разлили и по счастливой случайности в бочках оказалось равное количество воды. Нам нужно было, чтобы вода во всех четырех бочках была на одном уровне не более, чем за \(4\) переливания. Мы сделали это за три.
б) Обратите внимание на вопрос пункта (б): всегда ли можно уравнять количество воды в \(7\) бочках не более чем за \(5\) переливаний?
Легко привести пример, когда это сделать можно. Например, в бочках \(4\), \(4\), \(4\), \(4\), \(4\), \(3\) и \(5\) литров. Уравнивается за одно переливание.
А может быть и по-другому. Например, в бочках \(1\), \(1\), \(1\), \(1\), \(1\), \(1\) и \(8\) литров. Чтобы в каждой стало по \(2\) литра воду, надо из последней бочки наливать воду во все остальные. Пятью переливаниями мы не обойдемся. Значит, ответ «нет».
в) Пусть \(m\) - среднее арифметическое количество воды в бочках после всех переливаний. Бочки, содержащие ровно \(m\) литров, назовем «хорошими». Посмотрим еще раз на результат, полученный в пункте (а). Наименьшее количество переливаний будет в том случае, если в результате каждого переливания мы получаем бочку, в которой ровно \(m\) литров, то есть «хорошую». Причем либо в нее долили воды, и она стала «хорошей», либо отлили лишнее, оставив ровно \(m\) литров
Заметим также что в результате последнего переливания получается не одна, а две «хорошие» бочки. Получается, что для \(n\) бочек количество переливаний не меньше чем \(n-1\). Это оценка.
Приведем пример, когда за \(n-1\) мы заведомо уравняем количество воды в n бочках. Слово «заведомо» означает «в любом, даже в самом плохом и сложном случае». В результате первого, второго и остальных переливаний, включая предпоследнее, количество «хороших» бочек каждый раз увеличивается на одну, и теперь у нас \(n-2\) «хорошие» бочки. Последнее переливание добавит еще две «хороших» бочки. Готово. Значит, количество воды в \(26\) бочках можно заведомо уравнять за \(25\) переливаний.
Ответ: а) Да; б) Нет; в) \(25\).
