Условие задачи
а) Решите уравнение: \(\displaystyle \cos^2 \left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )=\cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right ) .\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\displaystyle \left [ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right ] .\)
Решение
а) \(\displaystyle \cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )=\cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right ) .\)
Перенесём в одну сторону и разложим на множители по формуле разности квадратов:
\(\displaystyle \cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )-\cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right )=0;\)
\(\left(cos\left(\frac{2\pi }{3}-x\right )-cos\left(\frac{2\pi }{3}+x\right )\right)\left(cos\left(\frac{2\pi }{3}-x\right )+cos\left(\frac{2\pi }{3}+x\right )\right)=0.\)
Раскроем \(\displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )\) и \(\displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right )\) по формулам косинуса разности и косинуса суммы:
\(\displaystyle \left ( \left ( \cos \frac{2 \pi}{3} \cos x +\sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) -\left ( \cos \frac{2 \pi}{3}\cos x - \sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) \right )\times \)
\(\displaystyle \times \left ( \left ( \cos \frac{2 \pi}{3} \cos x +\sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) +\left ( \cos \frac{2 \pi}{3}\cos x - \sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) \right )=0.\)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:
\(\displaystyle 2 \sin \frac{2 \pi}{3} \cdot \sin x \cdot 2 \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x \cdot \cos x =0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} sinx=0,\\cosx=0, \end{matrix}\right.\) так как \(\displaystyle 2 \sin \frac{2 \pi}{3} \cdot 2 \cos \frac{2 \pi}{3} \neq 0.\)
Изобразим тригонометрический круг и отметим на нём точки, для которых \(\sin x =0\) или \(\cos x =0 .\)
Все решения записываются в одну формулу \(\displaystyle x = \frac{\pi k}{2}, \: \: k \in Z,\) так как точки на тригонометрическом круге отличаются на \( \displaystyle \frac{\pi}{2}.\)
б) Найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\displaystyle \left [ - \frac {5 \pi}{2}; - \pi \right ].\) Это можно сделать, решая неравенство \(\displaystyle -\frac{5 \pi}{2} \leq \frac{\pi k}{2} \leq - \pi \, ,\) получаем \(-5 \leq k \leq -2 ,\) то есть \(\displaystyle - \frac {5 \pi}{2}; \, -2\pi\, ; \, -\frac{3 \pi}{2}; \, - \pi .\) А можно отметить на тригонометрическом круге отрезок \(\displaystyle \left [ - \frac {5 \pi}{2}; \, -\pi \right ] .\)
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(\displaystyle - \frac {5 \pi}{2}; \, -2 \pi ; -\frac{3 \pi}{2};- \pi .\)
Ответ:
а) \(\displaystyle x = \frac{\pi k}{2}, \, k \in Z; \;\) б) \(\displaystyle - \frac{5 \pi}{2}; \; -2 \pi ; \; - \frac{3 \pi}{2}; \; - \pi . \)
