Решение. Задание 13, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

а) Решите уравнение: $\displaystyle \cos^2 \left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )=\cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right ) .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\displaystyle \left [ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right ] .$

Решение

а) $\displaystyle \cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )=\cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right ) .$

Перенесём в одну сторону и разложим на множители по формуле разности квадратов:

$\displaystyle \cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )-\cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right )=0,$

Раскроем $\displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )$ и $\displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right )$ по формулам косинуса разности и косинуса суммы:

$\displaystyle \left ( \left ( \cos \frac{2 \pi}{3} \cos x +\sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) -\left ( \cos \frac{2 \pi}{3}\cos x - \sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) \right )\times$

$\displaystyle \times \left ( \left ( \cos \frac{2 \pi}{3} \cos x +\sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) +\left ( \cos \frac{2 \pi}{3}\cos x - \sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) \right )=0.$

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:

$\displaystyle 2 \sin \frac{2 \pi}{3} \cdot \sin x \cdot 2 \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x \cdot \cos x =0 \Leftrightarrow$ так как $\displaystyle 2 \sin \frac{2 \pi}{3} \cdot 2 \cos \frac{2 \pi}{3} \neq 0.$

Изобразим тригонометрический круг и отметим на нём точки, для которых $\sin x =0$ или $\cos x =0 .$

Все решения записываются в одну формулу $\displaystyle x = \frac{\pi k}{2}, \: \: k \in Z,$ так как точки на тригонометрическом круге отличаются на $\displaystyle \frac{\pi}{2}.$

б) Найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\displaystyle \left [ - \frac {5 \pi}{2}; - \pi \right ].$ Это можно сделать, решая неравенство $\displaystyle -\frac{5 \pi}{2} \leq \frac{\pi k}{2} \leq - \pi \, ,$ получаем $-5 \leq k \leq -2 ,$ то есть $\displaystyle - \frac {5 \pi}{2}; \, -2\pi\, ; \, -\frac{3 \pi}{2}; \, - \pi .$ А можно отметить на тригонометрическом круге отрезок $\displaystyle \left [ - \frac {5 \pi}{2}; \, -\pi \right ] .$