previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

а) Решите уравнение \displaystyle \cos^2 \left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )=\cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right ) .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \displaystyle \left [ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right ] .

Решение

а) \displaystyle \cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )=\cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right ) .

Перенесём в одну сторону и разложим на множители по формуле разности квадратов:

\displaystyle \cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}-x \right )-\cos^2\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right )=0,

Раскроем \displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi}{3}-x \right ) и \displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi}{3}+x \right ) по формулам косинуса разности и косинуса суммы

\displaystyle \left ( \left ( \cos \frac{2 \pi}{3} \cos x +\sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) -\left ( \cos \frac{2 \pi}{3}\cos x - \sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) \right )\times

\displaystyle \times \left ( \left ( \cos \frac{2 \pi}{3} \cos x +\sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) +\left ( \cos \frac{2 \pi}{3}\cos x - \sin \frac{2 \pi}{3} \sin x \right ) \right )=0.

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим

\displaystyle 2 \sin \frac{2 \pi}{3} \cdot \sin x \cdot 2 \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x \cdot \cos x =0 \Leftrightarrow  так как \displaystyle 2 \sin \frac{2 \pi}{3} \cdot 2 \cos \frac{2 \pi}{3} \neq 0.

Изобразим тригонометрический круг и отметим на нём точки, для которых \sin x =0 или \cos x =0 .

Все решения записываются в одну формулу \displaystyle x = \frac{\pi k}{2}, \: \: k \in Z, так как точки на тригонометрическом круге отличаются на \displaystyle \frac{\pi}{2}.

б) Найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \displaystyle \left [ - \frac {5 \pi}{2}; - \pi \right ]. Это можно сделать, решая неравенство \displaystyle -\frac{5 \pi}{2} \leq \frac{\pi k}{2} \leq - \pi \, , получаем -5 \leq k \leq -2 , то есть \displaystyle - \frac {5 \pi}{2}; \, -2\pi\, ; \, -\frac{3 \pi}{2}; \, - \pi . А можно отметить на тригонометрическом круге отрезок \displaystyle \left [ - \frac {5 \pi}{2}; \, -\pi \right ] .

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \displaystyle - \frac {5 \pi}{2}; \, -2 \pi ; -\frac{3 \pi}{2};- \pi \, .

Ответ:

а) \displaystyle x = \frac{\pi k}{2}, \, \, k \in Z; б) \displaystyle - \frac{5 \pi}{2}; -2 \pi ; - \frac{3 \pi}{2}; - \pi .