Условие задачи
\(ABCA_1 B_1 C_1\) — правильная призма, сторона \(AB\) равна 16. Через точки \(M\) и \(P,\) лежащие на рёбрах \(AC\) и \(B B_1\) соответственно, проведена плоскость \(\alpha ,\) параллельная прямой \(AB.\) Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.
а) Докажите, что периметр сечения плоскостью \(\alpha\) больше 40.
б) Найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha ,\) если упомянутый периметр равен 46.
Решение
а) Плоскость \(\alpha \parallel AB,\, \, M \in \alpha , \, \, P \in \alpha .\)
Через точку \(P\) в плоскости \((ABB_1)\) проведём \(PQ \parallel AB .\) Тогда плоскость \((PQM)\) искомая по признаку параллельности прямой и плоскости
(\(PQ \parallel AB ,\) следовательно, \((PQM) \parallel AB\)).
1 случай. Точка \(M\) совпадает с точкой \(A.\) В этом случае плоскость \((PQM)\) (т. е. \(\alpha\)) совпадает с \((ABB_1) ,\) сечение — прямоугольник \((ABB_1 A_1) ,\) и с учётом равенства трёх сторон получаем квадрат со стороной, равной 16, и периметром 64, что больше 40.
2 случай. Точка \(M\) находится внутри отрезка \(AC.\) В этом случае плоскость \((PQM)\) не совпадает с \((ABB_1) .\) Построим сечение призмы плоскостью \((PQM).\) Пусть плоскость \((PQM)\) пересекает нижнюю грань по прямой \(MN,\) \(N \in BC ,\) тогда \(MN \parallel AB ,\) ( в противном случае \(MN\) пересекается с \(AB\) в некоторой точке \(T\) и мы получаем противоречие: через три точки \(P\), \(Q\) и \(T\) проходят две различные плоскости). Соединяя точки \(P\) и \(N\), получаем искомое сечение \(PQMN.\)
Так как \(ABPQ\) — параллелограмм \((AQ \parallel BP, \, \, AB\parallel PQ) ,\) даже прямоугольник, то \(AB = PQ = 16.\)
Тогда \(MQ = MN = NP.\)
Кроме того, \(\triangle MCN \sim \triangle ABC ,\) так как \(MN \parallel AB ,\) следовательно, он равносторонний и \(MN = CM = CN <16 .\)
Обозначим длины этих отрезков через \(x.\) Четырёхугольник \(MNPQ\) — равнобедренная трапеция, так как \(PQ \parallel AB \parallel MN, \: PQ > MN .\)
В прямоугольном треугольнике \(BPN\) (\(BP\) перпендикулярно плоскости основания) \(BN = 16 - x\) и по теореме Пифагора
\(BP^2 = PN^2 - BN^2 = x^2 -(16 - x)^2 = 32x - 16^2 > 0 ,\) откуда следует, что \(x > 8\) и периметр, равный \(16 + 3x > 16 + 3 \cdot 8 = 40 ,\) что и требовалось доказать.
б) Так как периметр трапеции \(MNPQ\) равен 46, то по результатам первого пункта \(\displaystyle MQ=MN=NP=\frac{46-16}{3}=10, \)
\(AM=16-10=6.\)
Расстояние от точки \(A\) до плоскости \((PQM)\) можно найти как высоту \(h\) пирамиды с вершиной в точке \(A\) и основанием, лежащим на плоскости \(\alpha \: (PQM) .\) Рассмотрим пирамиду \(AMQN\) и найдём её объём двумя способами: \(\displaystyle V = \frac{1}{3} S_{\triangle MQN} \cdot h = \frac{1}{3}S_{\triangle AMN} \cdot AQ .\)
В треугольнике \(AMN \: MN = 10, \: AM = 16 - 10 = 6 , \; \angle AMN = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120 ^{\circ} ; \)
\(\displaystyle S_{\triangle AMN} = \frac{1}{2}AM \cdot MN \cdot \sin \angle AMN =\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}; \; \displaystyle AQ=\sqrt{QM^2 - AM^2 }=\sqrt{10^2 - 6^2}=8;\)
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{\triangle AMN}\cdot AQ=\frac{1}{3}\cdot 15\sqrt{3}\cdot 8=40\sqrt{3}.\)
Чтобы найти площадь \(\triangle NQM ,\) рассмотрим трапецию \(QMNP\) и найдём её высоту, равную длине отрезка \(MH = NG.\)
Так как трапеция равнобедренная, то \(\triangle QMH = \triangle PNG\) по катету и гипотенузе, поэтому \(\displaystyle QH=PG=\frac{16-10}{2}=3,\)
\(\displaystyle MH = \sqrt{10^2 - 3^2 }= \sqrt{91} , \; \displaystyle S_{\triangle MNQ} = \frac{1}{2}MN \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{91}= 5\sqrt{91}.\)
Приравнивая объёмы, получим \( \displaystyle 40 \sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot h \cdot 5\sqrt{91},\) откуда \(\displaystyle h = \frac{3 \cdot 40 \sqrt{3}}{5\sqrt{91}}=\frac{24 \sqrt{3}}{\sqrt{91}}.\)
Ответ:
б) \(\displaystyle \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{91}}.\)
