Решение. Задание 14, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

— правильная призма, сторона равна 16. Через точки и лежащие на рёбрах и соответственно, проведена плоскость параллельная прямой Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.

а) Докажите, что периметр сечения плоскостью больше 40.

б) Найдите расстояние от точки до плоскости если упомянутый периметр равен 46.

Решение

а) Плоскость

Через точку в плоскости проведём Тогда плоскость искомая по признаку параллельности прямой и плоскости ( следовательно, ).

1 случай. Точка совпадает с точкой В этом случае плоскость (т. е. ) совпадает с сечение — прямоугольник и с учётом равенства трёх сторон получаем квадрат со стороной, равной 16, и периметром 64, что больше 40.

2 случай. Точка находится внутри отрезка В этом случае плоскость не совпадает с Построим сечение призмы плоскостью Пусть плоскость пересекает нижнюю грань по прямой тогда ( в противном случае пересекается с в некоторой точке и мы получаем противоречие: через три точки , и проходят две различные плоскости). Соединяя точки и , получаем искомое сечение

Так как — параллелограмм даже прямоугольник, то

Тогда Кроме того, так как следовательно, он равносторонний и Обозначим длины этих отрезков через Четырёхугольник — равнобедренная трапеция, так как

В прямоугольном треугольнике ( перпендикулярно плоскости основания) и по теореме Пифагора откуда следует, что и периметр, равный что и требовалось доказать.

б) Так как периметр трапеции равен 46, то по результатам первого пункта

Расстояние от точки до плоскости можно найти как высоту пирамиды с вершиной в точке и основанием, лежащим на плоскости Рассмотрим пирамиду и найдём её объём двумя способами:

В треугольнике

Чтобы найти площадь рассмотрим трапецию и найдём её высоту, равную длине отрезка

Так как трапеция равнобедренная, то по катету и гипотенузе, поэтому Приравнивая объёмы, получим откуда

Ответ:

б)