Условие задачи
— правильная призма, сторона
равна 16. Через точки
и
лежащие на рёбрах
и
соответственно, проведена плоскость
параллельная прямой
Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.
а) Докажите, что периметр сечения плоскостью больше 40.
б) Найдите расстояние от точки до плоскости
если упомянутый периметр равен 46.
Решение
а) Плоскость
Через точку в плоскости
проведём
Тогда плоскость
искомая по признаку параллельности прямой и плоскости (
следовательно,
).
1 случай. Точка совпадает с точкой
В этом случае плоскость
(т. е.
) совпадает с
сечение — прямоугольник
и с учётом равенства трёх сторон получаем квадрат со стороной, равной 16, и периметром 64, что больше 40.
2 случай. Точка находится внутри отрезка
В этом случае плоскость
не совпадает с
Построим сечение призмы плоскостью
Пусть плоскость
пересекает нижнюю грань по прямой
тогда
( в противном случае
пересекается с
в некоторой точке
и мы получаем противоречие: через три точки
,
и
проходят две различные плоскости). Соединяя точки
и
, получаем искомое сечение
Так как — параллелограмм
даже прямоугольник, то
Тогда Кроме того,
так как
следовательно, он равносторонний и
Обозначим длины этих отрезков через
Четырёхугольник
— равнобедренная трапеция, так как
В прямоугольном треугольнике (
перпендикулярно плоскости основания)
и по теореме Пифагора
откуда следует, что
и периметр, равный
что и требовалось доказать.
б) Так как периметр трапеции равен 46, то по результатам первого пункта
Расстояние от точки до плоскости
можно найти как высоту
пирамиды с вершиной в точке
и основанием, лежащим на плоскости
Рассмотрим пирамиду
и найдём её объём двумя способами:
В треугольнике
Чтобы найти площадь рассмотрим трапецию
и найдём её высоту, равную длине отрезка
Так как трапеция равнобедренная, то по катету и гипотенузе, поэтому
Приравнивая объёмы, получим
откуда
Ответ:
б)
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Диагностическая работа 16.12.20» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 16.09.2023