previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

ABCA_1 B_1 C_1 — правильная призма, сторона AB равна 16. Через точки M и P, лежащие на рёбрах AC и B B_1 соответственно, проведена плоскость \alpha , параллельная прямой AB. Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.

а) Докажите, что периметр сечения плоскостью \alpha больше 40.

б) Найдите расстояние от точки A до плоскости \alpha , если упомянутый периметр равен 46.

Решение

а) Плоскость \alpha \parallel AB,\, \, M \in \alpha , \, \, P \in \alpha .

Через точку P в плоскости (ABB_1) проведём PQ \parallel AB . Тогда плоскость (PQM) искомая по признаку параллельности прямой и плоскости (PQ \parallel AB , следовательно, (PQM) \parallel AB).

1 случай. Точка M совпадает с точкой A. В этом случае плоскость (PQM) (т. е. \alpha) совпадает с (ABB_1) , сечение — прямоугольник (ABB_1 A_1) , и с учётом равенства трёх сторон получаем квадрат со стороной, равной 16 и периметром 64, что больше 40.

2 случай. Точка M находится внутри отрезка AC. В этом случае плоскость (PQM) не совпадает с (ABB_1) . Построим сечение призмы плоскостью (PQM). Пусть плоскость (PQM) пересекает нижнюю грань по прямой MN, N \in BC , тогда MN \parallel AB , ( в противном случае MN пересекается с AB в некоторой точке T и мы получаем противоречие: через три точки P, Q и T проходят две различные плоскости). Соединяя точки P и N, получаем искомое сечение PQMN.

Так как ABPQ — параллелограмм (AQ \parallel BP, \, \, AB\parallel PQ) , даже прямоугольник, то AB = PQ = 16.

Тогда MQ = MN = NP. Кроме того, \triangle MCN \sim \triangle ABC , так как MN \parallel AB , следовательно, он равносторонний и MN = CM = CN \textless 16 . Обозначим длины этих отрезков через x. Четырёхугольник MNPQ — равнобедренная трапеция, так как PQ \parallel AB \parallel MN, \: PQ \textgreater MN .

В прямоугольном треугольнике BPN (BP перпендикулярно плоскости основания) BN = 16 - x и по теореме Пифагора BP^2 = PN^2 - BN^2 = x^2 -(16 - x)^2 = 32x - 16^2 \textgreater 0 , откуда следует, что x \textgreater 8 и периметр, равный 16 + 3x \textgreater 16 + 3 \cdot 8 = 40 , что и требовалось доказать.

б) Так как периметр трапеции MNPQ равен 46, то по результатам первого пункта \displaystyle MQ=MN=NP=\frac{46-16}{3}=10, \: \: AM=16-10=6.

Расстояние от точки A до плоскости (PQM) можно найти как высоту h пирамиды с вершиной в точке A и основанием, лежащим на плоскости \alpha \: (PQM) . Рассмотрим пирамиду AMQN и найдём её объём двумя способами: \displaystyle V = \frac{1}{3} S_{\triangle MQN} \cdot h = \frac{1}{3}S_{\triangle AMN} \cdot AQ .

В треугольнике AMN \: \: \: MN = 10, \: \: AM = 16 - 10 = 6 , \angle AMN = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120 ^{\circ} , \displaystyle S_{\triangle AMN} = \frac{1}{2}AM \cdot MN \cdot \sin \angle AMN =\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}; \displaystyle AQ=\sqrt{QM^2 - AM^2 }=\sqrt{10^2 - 6^2}=8; \displaystyle V=\frac{1}{3}S_{\triangle AMN}\cdot AQ=\frac{1}{3}\cdot 15\sqrt{3}\cdot 8=40\sqrt{3}.

Чтобы найти площадь \triangle NQM , рассмотрим трапецию QMNP и найдём её высоту, равную длине отрезка MH = NG.

Так как трапеция равнобедренная, то \triangle QMH = \triangle PNG по катету и гипотенузе, поэтому \displaystyle QH=PG=\frac{16-10}{2}=3, \displaystyle MH = \sqrt{10^2 - 3^2 }= \sqrt{91} , \displaystyle S_{\triangle MNQ} = \frac{1}{2}MN \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{91}= 5\sqrt{91}. Приравнивая объёмы, получим \displaystyle 40 \sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot h \cdot 5\sqrt{91}, откуда \displaystyle h = \frac{3 \cdot 40 \sqrt{3}}{5\sqrt{91}}=\frac{24 \sqrt{3}}{\sqrt{91}}.

Ответ:

б) \displaystyle \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{91}}.