Условие задачи
Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{(x-2)(x-4)(x-7)}{(x+2)(x+4)(x+7)} > 1.\)
Решение
\(\displaystyle \frac{(x-2)(x-4)(x-7)}{(x+2)(x+4)(x+7)} >1 .\) Перенесём «1» в левую часть и приведём разность к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{(x-2)(x-4)(x-7)}{(x+2)(x+4)(x+7)} -1 > 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(x-2)(x-4)(x-7)-(x+2)(x+4)(x+7)}{(x+2)(x+4)(x+7)} > 0.\)
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:
\(\displaystyle \frac{(x^{3}-13x^2+50x-56)-(x^{3}+13x^2+50x+56)}{(x+2)(x+4)(x+7)} > 0 \Leftrightarrow \displaystyle \displaystyle \frac{-(26x^2+112)}{(x+2)(x+4)(x+7)}> 0 \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{(x+2)(x+4)(x+7)< 0}\) (*), так как \(-(26x^2 + 112) < 0\), обе части неравенства разделили на \(-(26x^2 + 112)\) и сменили знак.
Неравенство (*) решаем методом интервалов.
Получаем ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty ; -7) \cup (-4;-2) .\)
Ответ:
\(\displaystyle x \in (-\infty ; -7) \cup (-4;-2) .\)
