Условие задачи
В треугольнике \(ABC\) биссектрисы \(AK\) и \(BL\) пересекаются в точке \(I.\) Известно, что около четырёхугольника \(CKIL\) можно описать окружность.
а) Докажите, что угол \(BCA\) равен \(60^{\circ} .\)
б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если его периметр равен 25 и \(IC = 4 .\)
Решение
а) Пусть \(\angle A = 2 \alpha ,\) \(\angle B = 2 \beta ,\) тогда в треугольнике \(ABC\) \(\angle C =180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 2 \alpha - 2 \beta .\)
В треугольнике \(ABI\) \(\angle BIA =180^{\circ} - \alpha - \beta \) и \(\angle LIK =\angle BIA = 180^{\circ} - \alpha - \beta \) (как вертикальные).
Так как около четырёхугольника \(CLIK\) можно описать окружность, то \(\angle LIK + \angle LCK = 180^{\circ} .\) Подставляя их значения, получим
\(180^{\circ} - \alpha - \beta + 180^{\circ} -2 \alpha - 2 \beta = 180^{\circ} ,\)
\(3(\alpha + \beta) = 180^{\circ} ,\) \(\alpha + \beta = 60^{\circ} ,\)
тогда \(\angle C = 180^{\circ} - 2 \alpha - 2 \beta = 60^{\circ} ,\) что и требовалось доказать.
б) Площадь треугольника можно найти по формуле \(S = p \cdot r ,\) где \(p\) — полупериметр, а \(r\) — радиус вписанной окружности. Периметр известен \(\displaystyle p = \frac{25}{2} ,\) остаётся найти радиус вписанной окружности.
Точка пересечения биссектрис \(I\) является центром вписанной окружности, поэтому расстояния от \(I\) до сторон треугольника равны радиусу \(r .\) Проведём \(IH \perp BC\) и соединим точки \(I\) и \(C\), \(IC\) — биссектриса угла \(C,\) \(IH = r ,\) \(\angle ICH = 30^{\circ} .\)
В прямоугольном треугольнике \(CIH\) катет \(IH,\) лежащий против угла в \(30^{\circ} ,\) равен половине гипотенузы, поэтому \(IH = r = 2.\) Подставляя в формулу для площади, получаем \(\displaystyle S = p \cdot r = \frac{25}{2}\cdot 2 = 25.\)
Ответ:
б) 25.
