Условие задачи
В треугольнике биссектрисы
и
пересекаются в точке
Известно, что около четырёхугольника
можно описать окружность.
а) Докажите, что угол равен
б) Найдите площадь треугольника если его периметр равен 25 и
Решение
а) Пусть
тогда в треугольнике
В треугольнике
и
(как вертикальные).
Так как около четырёхугольника можно описать окружность, то
Подставляя их значения, получим
тогда что и требовалось доказать.
б) Площадь треугольника можно найти по формуле где
— полупериметр, а
— радиус вписанной окружности. Периметр известен
остаётся найти радиус вписанной окружности.
Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности, поэтому расстояния от
до сторон треугольника равны радиусу
Проведём
и соединим точки
и
,
— биссектриса угла
В прямоугольном треугольнике катет
лежащий против угла в
равен половине гипотенузы, поэтому
Подставляя в формулу для площади, получаем
Ответ:
б) 25.