Решение. Задание 16, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AK$ и $BL$ пересекаются в точке $I.$ Известно, что около четырёхугольника $CKIL$ можно описать окружность.

а) Докажите, что угол $BCA$ равен $60^{\circ} .$

б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если его периметр равен 25 и $IC = 4 .$

Решение

а) Пусть $\angle A = 2 \alpha ,$ $\angle B = 2 \beta ,$ тогда в треугольнике $ABC$ $\angle C =180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 2 \alpha - 2 \beta .$

В треугольнике $ABI$ $\angle BIA =180^{\circ} - \alpha - \beta$ и $\angle LIK =\angle BIA = 180^{\circ} - \alpha - \beta$ (как вертикальные).

Так как около четырёхугольника $CLIK$ можно описать окружность, то $\angle LIK + \angle LCK = 180^{\circ} .$ Подставляя их значения, получим
$180^{\circ} - \alpha - \beta + 180^{\circ} -2 \alpha - 2 \beta = 180^{\circ} ,$

$3(\alpha + \beta) = 180^{\circ} ,$ $\alpha + \beta = 60^{\circ} ,$

тогда $\angle C = 180^{\circ} - 2 \alpha - 2 \beta = 60^{\circ} ,$ что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника можно найти по формуле $S = p \cdot r ,$ где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности. Периметр известен $\displaystyle p = \frac{25}{2} ,$ остаётся найти радиус вписанной окружности.

Точка пересечения биссектрис $I$ является центром вписанной окружности, поэтому расстояния от $I$ до сторон треугольника равны радиусу $r .$ Проведём $IH \perp BC$ и соединим точки $I$ и $C$ , $IC$ — биссектриса угла $C,$ $IH = r ,$ $\angle ICH = 30^{\circ} .$

В прямоугольном треугольнике $CIH$ катет $IH,$ лежащий против угла в $30^{\circ} ,$ равен половине гипотенузы, поэтому $IH = r = 2.$ Подставляя в формулу для площади, получаем $\displaystyle S = p \cdot r = \frac{25}{2}\cdot 2 = 25.$

Ответ:

б) 25.

Решение. Задание 16, Диагностическая работа 16.12.20

Это полезно