Условие задачи
В треугольнике биссектрисы
и
пересекаются в точке
Известно, что около четырёхугольника
можно описать окружность.
а) Докажите, что угол равен
б) Найдите площадь треугольника если его периметр равен 25 и
Решение
а) Пусть
тогда в треугольнике
В треугольнике
и
(как вертикальные).
Так как около четырёхугольника можно описать окружность, то
Подставляя их значения, получим
тогда что и требовалось доказать.
б) Площадь треугольника можно найти по формуле где
— полупериметр, а
— радиус вписанной окружности. Периметр известен
остаётся найти радиус вписанной окружности.
Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности, поэтому расстояния от
до сторон треугольника равны радиусу
Проведём
и соединим точки
и
,
— биссектриса угла
В прямоугольном треугольнике катет
лежащий против угла в
равен половине гипотенузы, поэтому
Подставляя в формулу для площади, получаем
Ответ:
б) 25.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 16, Диагностическая работа 16.12.20» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 10.03.2023