previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 16, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность.

а) Докажите, что угол BCA равен 60^{\circ} .

б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 25 и IC = 4 .

Решение

а) Пусть \angle A = 2 \alpha , \angle B = 2 \beta , тогда в треугольнике ABC \angle C =180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 2 \alpha - 2 \beta .

В треугольнике ABI \angle BIA =180^{\circ} - \alpha - \beta и \angle LIK =\angle BIA = 180^{\circ} - \alpha - \beta (как вертикальные).

Так как около четырёхугольника CLIK можно описать окружность, то \angle LIK + \angle LCK = 180^{\circ} . Подставляя их значения, получим
180^{\circ} - \alpha - \beta + 180^{\circ} -2 \alpha - 2 \beta = 180^{\circ} ,

3(\alpha + \beta) = 180^{\circ} , \alpha + \beta = 60^{\circ} ,

тогда \angle C = 180^{\circ} - 2 \alpha - 2 \beta = 60^{\circ} , что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника можно найти по формуле S = p \cdot r , где p — полупериметр, а r — радиус вписанной окружности. Периметр известен \displaystyle p = \frac{25}{2} , остаётся найти радиус вписанной окружности.

Точка пересечения биссектрис I является центром вписанной окружности, поэтому расстояния от I до сторон треугольника равны радиусу r . Проведём IH \perp BC и соединим точки I и C, IC — биссектриса угла C, IH = r , \angle ICH = 30^{\circ} .

В прямоугольном треугольнике CIH катет IH, лежащий против угла в 30^{\circ} , равен половине гипотенузы, поэтому IH = r = 2. Подставляя в формулу для площади, получаем \displaystyle S = p \cdot r = \frac{25}{2}\cdot 2 = 25.

Ответ:

б) 25.