Условие задачи
Евгений хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Евгения было недостаточно денег, а пакет стоил 195 000 рублей. В середине каждого месяца Евгений откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 40%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Евгению каждый месяц, чтобы через некоторое время выкупить желаемый пакет акций?
Решение
1 способ. Будем вести вычисления в тыс. рублей. Пусть \(S\) — первоначальная цена акций \(S = 195 , \; y\) — имеющаяся у Евгения сумма в начале года, \(x\) — сумма, откладываемая ежемесячно. В конце каждого месяца акции дорожают не более чем на 40%, т. е. не более чем в \(k = 1,4\) раза; в конце первого месяца в \(k_1\) раз, в конце второго — в \(k_2\) раз, …, в конце \(n\)-го — в \(k_n\) раз, где \(k_1, \: k_2, \: ..., \: k_n \leq k=1,4 .\) В середине \(n\)-го месяца Евгений будет иметь \(y+nx\) тыс. рублей, а акции будут стоить \(S\cdot k_1 \cdot k_2 \cdot ... \cdot k_{n-1}\) тыс. рублей, так как в \(n\)-ый раз они подорожают только в конце месяца.
Чтобы ответить на вопрос задачи, рассмотрим худший для Евгения вариант, когда денег нет совсем \(y=0 ,\) а акции ежемесячно дорожают в \(k=1,4\) раза. Евгений сможет купить акции с середины до конца \(n\)-го месяца, если накопленная им сумма \(nx\) будет не меньше стоимости акций в середине \(n\)-го месяца: \(nx\geq S \cdot k^{n-1} .\)
Так как \(n \geq 1\), это равносильно условию \(\displaystyle x \geq \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} .\) Наименьшее \(x\) при каждом \(n\) получается равным \(\displaystyle \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} ,\) т. е зависит от \(n .\)
Рассмотрим последовательность \(\displaystyle S_n = \frac{S\cdot k^{n-1}}{n}\) и изучим её поведение. Для этого сравним соседние члены последовательности \(S_n\) и \(\displaystyle S_{n+1}=\frac{S \cdot k^n}{n+1},\) сравнив их отношение с 1: \(\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{kn}{n+1}.\)
1) Если \(\displaystyle \frac{kn}{n+1} >1\) т. е. \(kn > n+1; \; 1,4n >n+1; \; \displaystyle n > \frac{5}{2} ,\) то последовательность возрастает, а значит, начиная с \(n=3\) члены последовательности растут.
2) Если \(\displaystyle \frac{kn}{n+1} < 1\) т. е. \(kn < n+1; \; 1,4n < n+1; \; \displaystyle n < \frac{5}{2} ,\) то последовательность убывает, а значит, до \(n=2\) члены последовательности убывают.
Следовательно, наименьшими могут быть только \(S_2\) или \(S_3 ,\) найдём их:
\(\displaystyle S_2=\frac{195 \cdot 1,4}{2}=136,5, \; S_3=\frac{195\cdot 1,4^2}{3}=127,4\) — наименьшее. Итак, надо ежемесячно откладывать 127 400 рублей, чтобы наверняка купить желаемый пакет акций до конца 3-го месяца.
2 способ. Будем вести вычисления в тыс. рублей. Пусть \(S\) — первоначальная цена акций \(S = 195 , \; y\) — имеющаяся у Евгения сумма в начале года, \(x\) — сумма, откладываемая ежемесячно. В конце каждого месяца акции дорожают не более чем на 40%, т. е. не более чем в \(k = 1,4\) раза; в конце первого месяца в \(k_1\) раз, в конце второго — в \(k_2\) раз, …, в конце \(n\)-го — в \(k_n\) раз, где \(k_1,\: k_2, \: ..., \: k_n \leq k=1,4 .\) В середине \(n\)-го месяца Евгений будет иметь \(y+nx\) тыс. рублей, а акции будут стоить \(S\cdot k_1 \cdot k_2 \cdot ... \cdot k_{n-1}\) тыс. рублей, так как в \(n\)-ый раз они подорожают только в конце месяца.
Чтобы ответить на вопрос задачи, рассмотрим худший для Евгения вариант, когда денег нет совсем \(y=0 ,\) а акции ежемесячно дорожают в \(k=1,4\) раза. Евгений сможет купить акции с середины до конца \(n\)-го месяца, если накопленная им сумма \(nx\) будет не меньше стоимости акций в середине \(n\)-го месяца: \(nx\geq S \cdot k^{n-1} .\) Так как \(n \geq 1\), это равносильно условию \(\displaystyle x \geq \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} .\) Наименьшее \(x\) при каждом \(n\) получается равным \(\displaystyle \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} ,\) т. е зависит от \(n\). Рассмотрим функцию непрерывного аргумента \(\displaystyle s(t)=\frac{S\cdot k^{t-1}}{t},\) при \(t\geq 1,\) из которой получается наша последовательность при натуральных значениях \(t,\) и исследуем её на экстремум. Для этого найдём производную.
\(\displaystyle s'(t)=S \cdot \frac{k^{t-1}\ln k\cdot t -k^{t-1}}{t^2}=S\cdot k^{t-1}\cdot \frac{\ln k \cdot t -1}{t^2}.\)
Так как \(\displaystyle \frac{S \cdot k^{t-1}}{t^2} > 0,\) то \(s'(t)=0\Leftrightarrow \ln k \cdot t -1=0,\) т. е. \(\displaystyle t=\frac{1}{\ln k}=\frac{1}{\ln 1,4}=\log_{1,4}e.\) С учётом линейности \(\ln k \cdot t -1\) и положительности \(\ln k = \ln 1,4\) знаки производной легко определяются.
Функция имеет единственную точку экстремума — минимума, в ней и достигается наименьшее значение. Чтобы найти наименьший член последовательности \(\displaystyle \frac{S\cdot k^{n-1}}{n},\) оценим \(\log_{1,4}e.\)
\(1,4^2=1,96 < e < 2,744 =1,4 ^3,\) значит, \(2=\log_{1,4}1,4^2 < \log_{1,4} e< \log_{1,4}1,4^3=3, \: 2< \log_{1,4}e < 3.\)
Следовательно, наименьшими могут быть только \(S_2=s(2)\) или \(S_3 = 2(3),\) — значения в ближайших целых точках. Найдём их:
\(S_2=\displaystyle \frac{195 \cdot 1,4}{2}=136,5, \; S_3=\displaystyle \frac{195 \cdot 1,4^2}{3}=127,4\) — наименьшее. Итак, надо ежемесячно откладывать 127 400 рублей, чтобы наверняка купить желаемый пакет акций до конца 3-го месяца.
Ответ:
127 400 рублей.
