Условие задачи
Евгений хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Евгения было недостаточно денег, а пакет стоил 195 000 рублей. В середине каждого месяца Евгений откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 40%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Евгению каждый месяц, чтобы через некоторое время выкупить желаемый пакет акций?
Решение
1 способ. Будем вести вычисления в тыс. рублей. Пусть — первоначальная цена акций
— имеющаяся у Евгения сумма в начале года,
— сумма, откладываемая ежемесячно. В конце каждого месяца акции дорожают не более чем на 40%, т. е. не более чем в
раза; в конце первого месяца в
раз, в конце второго — в
раз, …, в конце n-го — в
раз, где
В середине n-го месяца Евгений будет иметь
тыс. рублей, а акции будут стоить
тыс. рублей, так как в n-ый раз они подорожают только в конце месяца.
Чтобы ответить на вопрос задачи, рассмотрим худший для Евгения вариант, когда денег нет совсем а акции ежемесячно дорожают в
раза. Евгений сможет купить акции с середины до конца n-го месяца, если накопленная им сумма
будет не меньше стоимости акций в середине n-го месяца:
Так как
, это равносильно условию
Наименьшее
при каждом
получается равным
т. е зависит от
Рассмотрим последовательность
и изучим её поведение. Для этого сравним соседние члены последовательности
и
сравнив их отношение с 1:
1) Если т. е.
то последовательность возрастает, а значит, начиная с
члены последовательности растут.
2) Если т. е.
то последовательность убывает, а значит, до
члены последовательности убывают.
Следовательно, наименьшими могут быть только или
найдём их:
— наименьшее. Итак, надо ежемесячно откладывать 127 400 рублей, чтобы наверняка купить желаемый пакет акций до конца 3-го месяца.
2 способ. Будем вести вычисления в тыс. рублей. Пусть — первоначальная цена акций
— имеющаяся у Евгения сумма в начале года,
— сумма, откладываемая ежемесячно. В конце каждого месяца акции дорожают не более чем на 40%, т. е. не более чем в
раза; в конце первого месяца в
раз, в конце второго — в
раз, …, в конце n-го — в
раз, где
В середине n-го месяца Евгений будет иметь
тыс. рублей, а акции будут стоить
тыс. рублей, так как в n-ый раз они подорожают только в конце месяца.
Чтобы ответить на вопрос задачи, рассмотрим худший для Евгения вариант, когда денег нет совсем а акции ежемесячно дорожают в
раза. Евгений сможет купить акции с середины до конца n-го месяца, если накопленная им сумма
будет не меньше стоимости акций в середине n-го месяца:
Так как
, это равносильно условию
Наименьшее
при каждом
получается равным
т. е зависит от
Рассмотрим функцию непрерывного аргумента
при
из которой получается наша последовательность при натуральных значениях
и исследуем её на экстремум. Для этого найдём производную.
Так как то
т.е.
С учётом линейности
и положительности
знаки производной легко определяются.
Функция имеет единственную точку экстремума — минимума, в ней и достигается наименьшее значение. Чтобы найти наименьший член последовательности оценим
значит,
Следовательно, наименьшими могут быть только или
— значения в ближайших целых точках. Найдём их:
,
— наименьшее. Итак, надо ежемесячно откладывать 127 400 рублей, чтобы наверняка купить желаемый пакет акций до конца 3-го месяца.
Ответ:
127 400 рублей.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 17, Диагностическая работа 16.12.20» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 06.09.2023