previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 17, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

Евгений хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Евгения было недостаточно денег, а пакет стоил 195 000 рублей. В середине каждого месяца Евгений откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 40%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Евгению каждый месяц, чтобы через некоторое время выкупить желаемый пакет акций?

Решение

1 способ. Будем вести вычисления в тыс. рублей. Пусть S — первоначальная цена акций S = 195 , y — имеющаяся у Евгения сумма в начале года, x — сумма, откладываемая ежемесячно. В конце каждого месяца акции дорожают не более чем на 40%, т. е. не более чем в k = 1,4 раза; в конце первого месяца в k_1 раз, в конце второго — в k_2 раз, …, в конце n-го — в k_n раз, где k_1,\: k_2, \: ..., \: k_n \leq k=1,4 . В середине n-го месяца Евгений будет иметь y+nx тыс. рублей, а акции будут стоить S\cdot k_1 \cdot k_2 \cdot ... \cdot k_{n-1} тыс. рублей, так как в n-ый раз они подорожают только в конце месяца.

Чтобы ответить на вопрос задачи, рассмотрим худший для Евгения вариант, когда денег нет совсем y=0 , а акции ежемесячно дорожают в k=1,4 раза. Евгений сможет купить акции с середины до конца n-го месяца, если накопленная им сумма nx будет не меньше стоимости акций в середине n-го месяца: nx\geq S \cdot k^{n-1} . Так как n \geq 1 это равносильно условию \displaystyle x \geq \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} . Наименьшее x при каждом n получается равным \displaystyle \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} , т. е зависит от n . Рассмотрим последовательность \displaystyle S_n = \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} и изучим её поведение. Для этого сравним соседние члены последовательности S_n и \displaystyle S_{n+1}=\frac{S \cdot k^n}{n+1}, сравнив их отношение с 1: \displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{kn}{n+1}.

1) Если \displaystyle \frac{kn}{n+1} \textgreater 1 т. е. kn \textgreater n+1;     1,4n \textgreater n+1;    \displaystyle n \textgreater \frac{5}{2} , то последовательность возрастает, а значит, начиная с n=3 члены последовательности растут.

2) Если \displaystyle \frac{kn}{n+1} \textless 1 т. е. kn \textless n+1;     1,4n \textless n+1;     \displaystyle n \textless \frac{5}{2} , то последовательность убывает, а значит, до n=2 члены последовательности убывают.

Следовательно, наименьшими могут быть только S_2 или S_3 , найдём их:

\displaystyle S_2=\frac{195 \cdot 1,4}{2}=136,5\: , \: \: S_3=\frac{195\cdot 1,4^2}{3}=127,4 — наименьшее. Итак, надо ежемесячно откладывать 127 400 рублей, чтобы наверняка купить желаемый пакет акций до конца 3-го месяца.

2 способ. Будем вести вычисления в тыс. рублей. Пусть S — первоначальная цена акций S = 195 , y — имеющаяся у Евгения сумма в начале года, x — сумма, откладываемая ежемесячно. В конце каждого месяца акции дорожают не более чем на 40%, т. е. не более чем в k = 1,4 раза; в конце первого месяца в k_1 раз, в конце второго — в k_2 раз, …, в конце n-го — в k_n раз, где k_1,\: k_2, \: ..., \: k_n \leq k=1,4 . В середине n-го месяца Евгений будет иметь y+nx тыс. рублей, а акции будут стоить S\cdot k_1 \cdot k_2 \cdot ... \cdot k_{n-1} тыс. рублей, так как в n-ый раз они подорожают только в конце месяца.

Чтобы ответить на вопрос задачи, рассмотрим худший для Евгения вариант, когда денег нет совсем y=0 , а акции ежемесячно дорожают в k=1,4 раза. Евгений сможет купить акции с середины до конца n-го месяца, если накопленная им сумма nx будет не меньше стоимости акций в середине n-го месяца: nx\geq S \cdot k^{n-1} . Так как n \geq 1 это равносильно условию \displaystyle x \geq \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} . Наименьшее x при каждом n получается равным \displaystyle \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} , т. е зависит от n . Рассмотрим функцию непрерывного аргумента \displaystyle s(t)=\frac{S\cdot k^{t-1}}{t}, при t\geq 1, из которой получается наша последователь-
ность при натуральных значениях t, и исследуем её на экстремум. Для этого
найдём производную.

\displaystyle s

Так как \displaystyle \frac{S \cdot k^{t-1}}{t^2} \textgreater 0, то s т.е. \displaystyle t=\frac{1}{\ln k}=\frac{1}{\ln 1,4}=\log_{1,4}e. С учётом линейности \ln k \cdot t -1 и положительности \ln k = \ln 1,4 знаки производной легко определяются.

 

 

Функция имеет единственную точку экстремума — минимума, в ней и достигается наименьшее значение. Чтобы найти наименьший член последовательности \displaystyle \frac{S\cdot k^{n-1}}{n}, оценим \log_{1,4}e.

1,4^2=1,96 \textless e \textless 2,744 =1,4 ^3, значит,

2=\log_{1,4}1,4^2 \textless \log_{1,4} e \textless \log_{1,4}1,4^3=3,\: \: \: 2\textless \log_{1,4}e \textless 3.

Следовательно, наименьшими могут быть только S_2=s(2) или S_3 = 2(3), — значения в ближайших целых точках. Найдём их:

S_2=\frac{195 \cdot 1,4}{2}=136,5, S_3=\frac{195 \cdot 1,4^2}{3}=127,4 — наименьшее. Итак, надо ежемесячно откладывать 127 400 рублей, чтобы наверняка купить желаемый пакет
акций до конца 3-го месяца.

Ответ:

127 400 рублей.