Решение. Задание 17, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

Евгений хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Евгения было недостаточно денег, а пакет стоил 195 000 рублей. В середине каждого месяца Евгений откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 40%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Евгению каждый месяц, чтобы через некоторое время выкупить желаемый пакет акций?

Решение

1 способ. Будем вести вычисления в тыс. рублей. Пусть $S$ — первоначальная цена акций $S = 195 ,$ $y$ — имеющаяся у Евгения сумма в начале года, $x$ — сумма, откладываемая ежемесячно. В конце каждого месяца акции дорожают не более чем на 40%, т. е. не более чем в $k = 1,4$ раза; в конце первого месяца в $k_1$ раз, в конце второго — в $k_2$ раз, …, в конце n-го — в $k_n$ раз, где $k_1,\: k_2, \: ..., \: k_n \leq k=1,4 .$ В середине n-го месяца Евгений будет иметь $y+nx$ тыс. рублей, а акции будут стоить $S\cdot k_1 \cdot k_2 \cdot ... \cdot k_{n-1}$ тыс. рублей, так как в n-ый раз они подорожают только в конце месяца.

Чтобы ответить на вопрос задачи, рассмотрим худший для Евгения вариант, когда денег нет совсем $y=0 ,$ а акции ежемесячно дорожают в $k=1,4$ раза. Евгений сможет купить акции с середины до конца n-го месяца, если накопленная им сумма $nx$ будет не меньше стоимости акций в середине n-го месяца: $nx\geq S \cdot k^{n-1} .$ Так как $n \geq 1$ , это равносильно условию $\displaystyle x \geq \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} .$ Наименьшее $x$ при каждом $n$ получается равным $\displaystyle \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} ,$ т. е зависит от $n .$ Рассмотрим последовательность $\displaystyle S_n = \frac{S\cdot k^{n-1}}{n}$ и изучим её поведение. Для этого сравним соседние члены последовательности $S_n$ и $\displaystyle S_{n+1}=\frac{S \cdot k^n}{n+1},$ сравнив их отношение с 1: $\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{kn}{n+1}.$

1) Если $\displaystyle \frac{kn}{n+1} \textgreater 1$ т. е. $kn \textgreater n+1;$ $1,4n \textgreater n+1;$ $\displaystyle n \textgreater \frac{5}{2} ,$ то последовательность возрастает, а значит, начиная с $n=3$ члены последовательности растут.

2) Если $\displaystyle \frac{kn}{n+1} \textless 1$ т. е. $kn \textless n+1;$ $1,4n \textless n+1;$ $\displaystyle n \textless \frac{5}{2} ,$ то последовательность убывает, а значит, до $n=2$ члены последовательности убывают.

Следовательно, наименьшими могут быть только $S_2$ или $S_3 ,$ найдём их:

$\displaystyle S_2=\frac{195 \cdot 1,4}{2}=136,5\: , \: \: S_3=\frac{195\cdot 1,4^2}{3}=127,4$ — наименьшее. Итак, надо ежемесячно откладывать 127 400 рублей, чтобы наверняка купить желаемый пакет акций до конца 3-го месяца.

2 способ. Будем вести вычисления в тыс. рублей. Пусть $S$ — первоначальная цена акций $S = 195 ,$ $y$ — имеющаяся у Евгения сумма в начале года, $x$ — сумма, откладываемая ежемесячно. В конце каждого месяца акции дорожают не более чем на 40%, т. е. не более чем в $k = 1,4$ раза; в конце первого месяца в $k_1$ раз, в конце второго — в $k_2$ раз, …, в конце n-го — в $k_n$ раз, где $k_1,\: k_2, \: ..., \: k_n \leq k=1,4 .$ В середине n-го месяца Евгений будет иметь $y+nx$ тыс. рублей, а акции будут стоить $S\cdot k_1 \cdot k_2 \cdot ... \cdot k_{n-1}$ тыс. рублей, так как в n-ый раз они подорожают только в конце месяца.

Чтобы ответить на вопрос задачи, рассмотрим худший для Евгения вариант, когда денег нет совсем $y=0 ,$ а акции ежемесячно дорожают в $k=1,4$ раза. Евгений сможет купить акции с середины до конца n-го месяца, если накопленная им сумма $nx$ будет не меньше стоимости акций в середине n-го месяца: $nx\geq S \cdot k^{n-1} .$ Так как $n \geq 1$ , это равносильно условию $\displaystyle x \geq \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} .$ Наименьшее $x$ при каждом $n$ получается равным $\displaystyle \frac{S\cdot k^{n-1}}{n} ,$ т. е зависит от $n .$ Рассмотрим функцию непрерывного аргумента $\displaystyle s(t)=\frac{S\cdot k^{t-1}}{t},$ при $t\geq 1,$ из которой получается наша последовательность при натуральных значениях $t,$ и исследуем её на экстремум. Для этого найдём производную.

$\displaystyle s$

Так как $\displaystyle \frac{S \cdot k^{t-1}}{t^2} \textgreater 0,$ то $s$ т.е. $\displaystyle t=\frac{1}{\ln k}=\frac{1}{\ln 1,4}=\log_{1,4}e.$ С учётом линейности $\ln k \cdot t -1$ и положительности $\ln k = \ln 1,4$ знаки производной легко определяются.

Функция имеет единственную точку экстремума — минимума, в ней и достигается наименьшее значение. Чтобы найти наименьший член последовательности $\displaystyle \frac{S\cdot k^{n-1}}{n},$ оценим $\log_{1,4}e.$

$1,4^2=1,96 \textless e \textless 2,744 =1,4 ^3,$ значит,

$2=\log_{1,4}1,4^2 \textless \log_{1,4} e \textless \log_{1,4}1,4^3=3,\: \: \: 2\textless \log_{1,4}e \textless 3.$

Следовательно, наименьшими могут быть только $S_2=s(2)$ или $S_3 = 2(3),$ — значения в ближайших целых точках. Найдём их:

$S_2=\frac{195 \cdot 1,4}{2}=136,5$ , $S_3=\frac{195 \cdot 1,4^2}{3}=127,4$ — наименьшее. Итак, надо ежемесячно откладывать 127 400 рублей, чтобы наверняка купить желаемый пакет акций до конца 3-го месяца.

Ответ:

127 400 рублей.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 17, Диагностическая работа 16.12.20» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 06.09.2023

Решение. Задание 17, Диагностическая работа 16.12.20

Это полезно