Решение. Задание 18, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

Найдите все значения $a ,$ при которых уравнение $\sqrt{x+a}-\sqrt{x-a}=a$ имеет единственное решение.

Решение

$\sqrt{x+a}-\sqrt{x-a}=a .$ Можно заметить, что при $a=0 ,$ получается уравнение $\sqrt{x}-\sqrt{x}=0 ,$ которому удовлетворяют любые неотрицательные $x ,$ единственности не будет. Поэтому $a=0$ сразу следует исключить из рассмотрения. Итак. $a\neq 0 .$

Сделаем замену:

$\sqrt{x+a}=t,\: \: t\geq 0 ,$

$\sqrt{x-a}=z,\: \: z\geq 0 .$

Уравнение преобразуется в систему

$\left\{\begin{matrix} t-z=a,\\ x=t^2-a\\ x=z^2+a,\end{matrix}\right.$ исключая $x ,$ получим $\left\{\begin{matrix} t-z=a,\\ t^2-a=z^2+a\end{matrix}\right.$ или $\left\{\begin{matrix} t-z=a,\\ t^2-z^2=2a\end{matrix}\right. .$

Разложим разность квадратов $\left\{\begin{matrix}t-z=a, \\(t-z)(t-z)=2a\end{matrix}\right.$ и поделим второе уравнение на первое (это можно сделать, так как $a\neq 0$ ) $\left\{\begin{matrix}t-z=a, \\t+z=2,\end{matrix}\right.$ получим $\displaystyle \left\{\begin{matrix}t=\frac{a+2}{2}, \\z=\frac{2-a}{2}\end{matrix}\right. .$

Записывая ограничения на $t$ и $z$

$\displaystyle \left\{\begin{matrix}\frac{a+2}{2}\geq 0, \\\frac{2-a}{2}\geq 0\end{matrix}\right.$ с учётом $a\neq 0$ находим ограничения на $a$ $\left\{\begin{matrix}a\neq 0, \\-2\leq a\leq 2\end{matrix}\right. .$

$\displaystyle x=t^2 -a=\left ( \frac{a+2}{2} \right )^2 -a=\frac{a^2}{4}+1=z^2 +a .$ $\displaystyle x=\frac{a^2}{4}+1 ,$ получили обычную квадратичную зависимость, из которой видно, что по каждому $a$ из найденного множества соответствует единственное значение $x .$ Получаем $\displaystyle a \in [-2;\: 0)\cup (0;\: 2] .$

Ответ:

$\displaystyle a \in [-2;\: 0)\cup (0;\: 2] .$

Решение. Задание 18, Диагностическая работа 16.12.20

Это полезно