previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

Найдите все значения a , при которых уравнение \sqrt{x+a}-\sqrt{x-a}=a имеет единственное решение.

Решение

\sqrt{x+a}-\sqrt{x-a}=a . Можно заметить, что при a=0 , получается уравнение \sqrt{x}-\sqrt{x}=0 , которому удовлетворяют любые неотрицательные x , единственности не будет. Поэтому a=0 сразу следует исключить из рассмотрения. Итак. a\neq 0 .

Сделаем замену:

\sqrt{x+a}=t,\: \: t\geq 0 ,

\sqrt{x-a}=z,\: \: z\geq 0 .

Уравнение преобразуется в систему

\left\{\begin{matrix} t-z=a,\\ x=t^2-a\\ x=z^2+a,\end{matrix}\right. исключая x , получим \left\{\begin{matrix} t-z=a,\\ t^2-a=z^2+a\end{matrix}\right. или \left\{\begin{matrix} t-z=a,\\ t^2-z^2=2a\end{matrix}\right. .

Разложим разность квадратов \left\{\begin{matrix}t-z=a, \\(t-z)(t-z)=2a\end{matrix}\right. и поделим второе уравнение на первое (это можно сделать, так как a\neq 0) \left\{\begin{matrix}t-z=a, \\t+z=2,\end{matrix}\right. получим \displaystyle  \left\{\begin{matrix}t=\frac{a+2}{2}, \\z=\frac{2-a}{2}\end{matrix}\right. .

Записывая ограничения на t и z

\displaystyle  \left\{\begin{matrix}\frac{a+2}{2}\geq 0, \\\frac{2-a}{2}\geq 0\end{matrix}\right. с учётом a\neq 0 находим ограничения на a \left\{\begin{matrix}a\neq 0, \\-2\leq a\leq 2\end{matrix}\right. .

\displaystyle x=t^2 -a=\left ( \frac{a+2}{2} \right )^2 -a=\frac{a^2}{4}+1=z^2 +a . \displaystyle x=\frac{a^2}{4}+1 , получили обычную квадратичную зависимость, из которой видно, что по каждому a из найденного множества соответствует единственное значение x . Получаем \displaystyle a \in [-2;\: 0)\cup (0;\: 2] .

Ответ:

\displaystyle a \in [-2;\: 0)\cup (0;\: 2] .