Условие задачи
Найдите все значения \(a ,\) при которых уравнение \(\sqrt{x+a}-\sqrt{x-a}=a\) имеет единственное решение.
Решение
\(\sqrt{x+a}-\sqrt{x-a}=a .\) Можно заметить, что при \(a=0\) получается уравнение \(\sqrt{x}-\sqrt{x}=0 ,\) которому удовлетворяют любые неотрицательные \(x ,\) единственности не будет. Поэтому \(a=0\) сразу следует исключить из рассмотрения. Итак. \(a\neq 0 .\)
Сделаем замену:
\(\sqrt{x+a}=t,\: \: t\geq 0 ;\)
\(\sqrt{x-a}=z,\: \: z\geq 0 .\)
Уравнение преобразуется в систему
\(\left\{\begin{matrix}
t-z=a,\\
x=t^2-a,\\
x=z^2+a,
\end{matrix}\right.\) исключая \(x ,\) получим \(\left\{\begin{matrix}
t-z=a,\\
t^2-a=z^2+a
\end{matrix}\right.\) или \(\left\{\begin{matrix}
t-z=a,\\
t^2-z^2=2a.
\end{matrix}\right. \)
Разложим разность квадратов \(\left\{\begin{matrix}
t-z=a, \\
(t-z)(t-z)=2a
\end{matrix}\right.\) и поделим второе уравнение на первое (это можно сделать,
так как \(a\neq 0\)) \(\left\{\begin{matrix}
t-z=a, \\
t+z=2,
\end{matrix}\right.\) получим \(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
t=\displaystyle \frac{a+2}{2}, \\
z=\displaystyle \frac{2-a}{2}.
\end{matrix}\right. \)
Записывая ограничения на \(t\) и \(z\):
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{a+2}{2}\geq 0, \\
\displaystyle \frac{2-a}{2}\geq 0
\end{matrix}\right. \; \) с учётом \(a\neq 0\) находим ограничения на \(a \; \left\{\begin{matrix}
a\neq 0, \\
-2\leq a\leq 2.
\end{matrix}\right. \)
\(\displaystyle x=t^2 -a=\left ( \frac{a+2}{2} \right )^2 -a=\frac{a^2}{4}+1=z^2 +a , \; \displaystyle x=\frac{a^2}{4}+1 ,\) получили обычную квадратичную зависимость, из которой видно, что по каждому \(a\) из найденного множества соответствует единственное значение \(x .\)
Получаем \(\displaystyle a \in [-2;\: 0)\cup (0;\: 2] .\)
Ответ:
\(\displaystyle a \in [-2;\: 0)\cup (0;\: 2] .\)
