Решение. Задание 19, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

Пусть $\overline{ab}$ обозначает двузначное число, равное $10a + b,$ где $a$ и $b$ – десятичные цифры, $a\neq 0 .$

а) Существуют ли такие попарно различные ненулевые десятичные цифры $a, b, c$ и $d,$ что $\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99$ ?

б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые десятичные цифры $a, b, c$ и $d,$ что $\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=693 ,$ если среди цифр $a, b, c$ и $d$ есть цифра 7?

в) Какое наибольшее значение может принимать выражение $\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc} ,$ если среди цифр $a, b, c$ и $d$ есть цифры 5 и 7?

Решение

Распишем выражение $\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc} .$

откуда следует, что такая разность делится на 99.

а) Пусть $\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99 ,$ т. е. $99(ac-bd)=99 \Leftrightarrow ac-bd=1 .$ Подберём ненулевые попарно различные цифры, удовлетворяющие этому уравнению, например, $a=4,\: c=2,\: b=1,\: d=7 .$ Действительно, $41\cdot 27-14\cdot 72=1107-1008=99 .$

Да, существуют.

б) Пусть $\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=693$ и среди цифр $a, b, c, d$ есть 7.
$99(ac-bd)=693 \Leftrightarrow ac-bd=7 .$

Пусть $a=7$ или $c=7 ,$ тогда $ac\, \vdots \, 7$ и $bd=ac-7$ должно делиться на 7.
7 — простое число, поэтому $b\, \vdots \, 7$ или $d\, \vdots \, 7 .$ Но среди цифр, отличных от 7, нет делящихся на 7, а 7 мы уже использовали. Значит, такая ситуация невозможна. Аналогично рассматривается случай, когда $b=7$ или $d=7 .$ Таких цифр не существует.

Нет, не существуют.

в) $\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99(ac-bd) ,$ поэтому наибольшее его значение получается при наибольшем значении выражения $ac-bd=A .$ Так как среди цифр есть 5 и 7, то рассмотрим разные случаи расположения 5 и 7.

1) Пусть 5 и 7 среди цифр $a$ и $c .$ Так как все цифры различны и среди них нет 0 (в исходном выражении каждая из цифр побывала на первом месте в двузначном числе), то $bd\geq 1\cdot 2=2 ,$ поэтому $A=ac-bd\leq 5\cdot 7-1\cdot 2=33,\: \: \: \underline{A\leq 33} .$

2) Пусть 5 и 7 среди цифр $b$ и $d .$ Тогда $A=ac-bd\leq 9\cdot 8-5\cdot 7=37,\: \: \: \underline{A\leq 37} .$

3) Пусть 5 среди цифр $a$ и $c$ , а 7 среди цифр $b$ и $d .$ Тогда $A=ac-bd\leq 9\cdot 5-1\cdot 7=38,\: \: \: \underline{A\leq 38} .$

4) Пусть 7 среди цифр $a$ и $c$ , а 5 среди цифр $b$ и $d$ . Тогда $A=ac-bd\leq 9\cdot 7-5\cdot 1=58,\: \: \: \underline{A\leq 58} .$

Наилучшая оценка получается в последнем случае.

Пример для $A=58 .$ Пусть $a=7, c=9, b=5, d=1,$ тогда $A=ac-bd=9\cdot 7-5 \cdot 1 =58 .$ Значит, наибольшее значение $\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99(ac-bd)=99\cdot 58=5742 .$

Ответ:

а) Да. б) Нет. в) 5742.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 19, Диагностическая работа 16.12.20» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Решение. Задание 19, Диагностическая работа 16.12.20

Это полезно