previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 19, Диагностическая работа 16.12.20

Условие задачи

Пусть \overline{ab} обозначает двузначное число, равное 10a + b, где a и b – десятичные цифры, a\neq 0 .

а) Существуют ли такие попарно различные ненулевые десятичные цифры a, b, c и d, что \overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99?

б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые десятичные цифры a, b, c и d, что \overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=693 , если среди цифр a, b, c и d есть цифра 7?

в) Какое наибольшее значение может принимать выражение \overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc} , если среди цифр a, b, c и d есть цифры 5 и 7?

Решение

Распишем выражение \overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc} .

 откуда следует, что такая разность делится на 99.

а) Пусть \overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99 , т. е. 99(ac-bd)=99 \Leftrightarrow ac-bd=1 . Подберём ненулевые попарно различные цифры, удовлетворяющие этому уравнению, например, a=4,\: c=2,\: b=1,\: d=7 . Действительно, 41\cdot 27-14\cdot 72=1107-1008=99 .

Да, существуют.

б) Пусть \overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=693 и среди цифр a, b, c, d есть 7.
99(ac-bd)=693 \Leftrightarrow ac-bd=7 .

Пусть a=7 или c=7 , тогда ac\, \vdots \, 7 и bd=ac-7 должно делиться на 7.
7 — простое число, поэтому b\, \vdots \, 7 или d\, \vdots \, 7 . Но среди цифр, отличных от 7, нет делящихся на 7, а 7 мы уже использовали. Значит, такая ситуация невозможна. Аналогично рассматривается случай, когда b=7 или d=7 . Таких цифр не существует.

Нет, не существуют.

в) \overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99(ac-bd) , поэтому наибольшее его значение получается при наибольшем значении выражения ac-bd=A . Так как среди цифр есть 5 и 7, то рассмотрим разные случаи расположения 5 и 7.

1) Пусть 5 и 7 среди цифр a и c . Так как все цифры различны и среди них нет 0 (в исходном выражении каждая из цифр побывала на первом месте в двузначном числе), то bd\geq 1\cdot 2=2 , поэтому A=ac-bd\leq 5\cdot 7-1\cdot 2=33,\: \: \: \underline{A\leq 33} .

2) Пусть 5 и 7 среди цифр b и d . Тогда A=ac-bd\leq 9\cdot 8-5\cdot 7=37,\: \: \: \underline{A\leq 37} .

3) Пусть 5 среди цифр a и c, а 7 среди цифр b и d . Тогда A=ac-bd\leq 9\cdot 5-1\cdot 7=38,\: \: \: \underline{A\leq 38} .

4) Пусть 7 среди цифр a и c, а 5 среди цифр b и d . Тогда A=ac-bd\leq 9\cdot 7-5\cdot 1=58,\: \: \: \underline{A\leq 58} .

Наилучшая оценка получается в последнем случае.

Пример для A=58 . Пусть a=7, c=9, b=5, d=1, тогда A=ac-bd=9\cdot 7-5 \cdot 1 =58 . Значит, наибольшее значение \overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=99(ac-bd)=99\cdot 58=5742 .

Ответ:

а) да; б) нет; в) 5742.