1. Дана правильная треугольная пирамида \(SABC. \; AB = 16\), высота \(SH=10\), точка — середина \(AS\), точка \(N\) — середина \(BC\). Плоскость, проходящая через точку \(K\) и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра\(SB\) и \(SC\) в точках \(Q\) и \(P\) соответственно.
а) Докажите, что \(S_{PQCB} : S_{BSC} = 3 : 4.\)
б) Найдите объем пирамиды \(KBPQC.\)
Решение:
а) Пусть \(Q\) – середина \(SB, \; P\) – середина \(SC\);
\(KQ\) – средняя линия \(\triangle SAB;\)
\(KP\) – средняя линия \(\triangle SAC;\)
\(PQ\) – средняя линия \(\triangle SBC;\)
\(KQ \parallel AB, \; KP \parallel AC.\)
Значит, \(\left ( KPQ \right ) \parallel \left ( ABC \right )\) по признаку параллельности плоскостей.
Докажем, что \(\displaystyle S_{PQBC}=\frac{3}{4}S_{\triangle SBC};\)
\(\triangle SPQ \sim \triangle SCB\) по углу и двум сторонам,
\(\displaystyle k=\frac{SQ}{SB}=\frac{1}{2};\)
\(\displaystyle S_{\triangle SPQ}=k^2 \cdot S_{\triangle SBC}=\frac{1}{4}S_{\triangle SBC};\)
\(\displaystyle S_{PQBC}=S_{\triangle SBC}-S_{\triangle SPQ}=\left ( 1-\frac{1}{4}\right )\cdot S_{\triangle SBC} =\frac{3}{4}S_{\triangle SBC}, \) что и требовалось доказать.
б) Найдем \(V_{KBPQC}.\)
\(h\) – расстояние от точки \(K\) до плоскости \(SBC\).
\(SA\) – наклонная к плоскости \(SBC\);
так как \(K\) – середина \(SA\), расстояние от \(K\) до \(SBC\) вдвое меньше расстояния от \(A\) до \((SBC)\).
Пусть \(d\) – расстояние от \(A\) до \((SBC)\).
Тогда \(\displaystyle \frac{d}{2}\) – расстояние от \(K\) до \((SBC)\).
\(\displaystyle V_{SABC} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH =\frac{1}{3} S_{\triangle SBC}\cdot d;\)
Отсюда \(\displaystyle d=\frac{S_{\triangle ABC} \cdot SH}{S_{\triangle SBC}};\)
\(\displaystyle V_{KBPQC}=\frac{1}{3}\cdot S_{BPQC}\cdot \frac{d}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} S_{\triangle SBC}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{S_{\triangle ABC }\cdot SH}{S_{\triangle SBC}}=\)
\(\displaystyle =\frac{1}{8}\cdot S_{\triangle ABC }\cdot SH =\frac{1}{8}\cdot \frac{AB^2 \sqrt{3}}{4} \cdot SH=\frac{1}{8}\cdot \frac{16^2 \sqrt{3}\cdot 10}{4} =\)
\(\displaystyle =\frac{16\cdot 16\cdot \sqrt{3}\cdot 10}{32}=80\sqrt{3}.\)
Ответ: \(80\sqrt{3}.\)
2. (Резервный день) В основании правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1 \) лежит треугольник \(ABC\). На прямой \(AA_1\) отмечена точка \(D\) так, что точка \(A_1\) – середина отрезка \(AD\). На прямой \(B_1C_1\) отмечена точка \(E\) так, что \(C_1\) – середина отрезка \(B_1E.\)
а) Докажите, что прямые \(A_1B_1\) и \(DE\) перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми \(AB\) и \(DE\), если \(AB=3, \; AA_1=1.\)
Решение:
а) Докажем, что \(A_1 B_1 \perp DE.\)
Пусть \(F \in \left ( A_1 B_1 \right );\)
\(A_1\) – середина отрезка \(\left [ B_1F \right ] . \) Тогда \(A_1C_1\) – средняя линия треугольника \(FEB_1;\)
\(\triangle FEB_1 \sim \triangle A_1C_1B_1, \;\triangle FEB_1\) – правильный, \(EA_1\) – его медиана и высота, \(EA_1 \perp FB_1.\)
Так как \(DA_1\perp \left ( A_1B_1C_1 \right ), \; A_1\) – проекция \(D\) на \((A_1B_1C_1), \; A_1E\) – проекция \(DE\) на плоскость \(A_1B_1C_1, \; A_1E \perp A_1B_1 \Rightarrow DE \perp A_1B_1\) по теореме о трех перпендикулярах.
б) Найдем расстояние между \(AB\) и \(DE,\) если \(AB=3, \; AA_1 =1.\) Пусть \(K \in (BC), \; C\) – середина \([BK].\)
Тогда \(AA_1EK\) – прямоугольник, \(AK \parallel A_1E \Rightarrow AK \perp A_1 B_1 \Rightarrow AK \perp AB .\) Также \(AA_1 \perp AB \Rightarrow (AA_1E) \perp AB\) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости; в плоскости \((AA_1E)\) проведем \(AH \perp DE.\)
\(ADEK\) – трапеция, \(AD \parallel EK, \; EK =AA_1=1, \; AD=2EK=2,\;AK=2h,\) где \(h\) – высота правильного треугольника \(ABC,\)
\(\displaystyle h=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2},\) тогда \(AK=3\sqrt{3}.\)
Проведем \(ET \perp AD;\)
\(ET \parallel AK,\; ET = AK=3\sqrt{3} .\)
\(\triangle ADH \sim \triangle EDT\) по двум углам, \(\displaystyle \frac{AH}{ET}=\frac{AD}{DE};\)
Из \(\triangle TDE,\) где \(ET = 3 \sqrt{3,} \; DT=1,\) получим:
\(DE = \sqrt{(3\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7};\)
\(\displaystyle AH=\frac{AD \cdot ET}{DE}= \frac{2\cdot 3 \sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}.\)
