previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2021. Решение задачи 14

1. Дана правильная треугольная пирамида SABC. АB = 16, высота SH = 10, точка К - середина AS, точка N — середина ВС. Плоскость, проходящая через точку К и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и Р соответственно.

а) Докажите, что S_{PQCB} : S_{BSC} = 3 : 4.
б) Найдите объем пирамиды KBPQC.

Решение:

а) Пусть Q – середина SB, P – середина SC;

KQ – средняя линия \triangle SAB

KP – средняя линия \triangle SAC

PQ – средняя линия \triangle SBC

KQ \parallel AB, KP \parallel AC.

Значит, \left ( KPQ \right ) \parallel \left ( ABC \right ) по признаку параллельности плоскостей.

Докажем, что \displaystyle S_{PQBC}=\frac{3}{4}S_{\triangle SBC};

\triangle SPQ \sim \triangle SCB по углу и двум сторонам,

\displaystyle k=\frac{SQ}{SB}=\frac{1}{2};

\displaystyle S_{\triangle SPQ}=k^2 \cdot S_{\triangle SBC}=\frac{1}{4}S_{\triangle SBC}

\displaystyle S_{PQBC}=S_{\triangle SBC}-S_{\triangle SPQ}=\left ( 1-\frac{1}{4}\right )\cdot  S_{\triangle SBC} =\frac{3}{4}S_{\triangle SBC}, что и требовалось доказать.

б) Найдем V_{KBPQC}.

h – расстояние от точки K до плоскости SBC.

SA – наклонная к плоскости SBC;

так как K – середина SA, расстояние от K до SBC вдвое меньше расстояния от A до (SBC).

Пусть d – расстояние от A до (SBC).

Тогда \displaystyle \frac{d}{2} – расстояние от K до (SBC).

\displaystyle V_{SABC} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH =\frac{1}{3} S_{\triangle SBC}\cdot d

Отсюда \displaystyle d=\frac{S_{\triangle ABC} \cdot SH}{S_{\triangle SBC}};

\displaystyle V_{KBPQC}=\frac{1}{3}\cdot S_{BPQC}\cdot \frac{d}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} S_{\triangle SBC}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{S_{\triangle ABC }\cdot SH}{S_{\triangle SBC}}=

\displaystyle =\frac{1}{8}\cdot S_{\triangle ABC }\cdot SH =\frac{1}{8}\cdot \frac{AB^2 \sqrt{3}}{4} \cdot SH=\frac{1}{8}\cdot \frac{16^2 \sqrt{3}\cdot 10}{4} =

\displaystyle =\frac{16\cdot 16\cdot \sqrt{3}\cdot 10}{32}=80\sqrt{3}.

Ответ: 80\sqrt{3}.

2. (Резервный день) В основании правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит треугольник АВС. На прямой AA_1 отмечена точка D так, что точка A_1 – середина отрезка AD. На прямой B_1C_1 отмечена точка Е
так, что C_1 – середина отрезка B_1E.

А) Докажите, что прямые A_1B_1 и DE перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми АВ и DE, если АВ = 3, AA_1=1.

Решение:

а) Докажем, что A_1 B_1 \perp DE.

Пусть F \in \left ( A_1 B_1 \right );

A_1 – середина отрезка \left [ B_1F \right ] . Тогда A_1C_1 – средняя линия треугольника FEB_1;

\triangle FEB_1 \sim \triangle A_1C_1B_1, \;\triangle FEB_1 – правильный, EA_1 – его медиана и высота, EA_1 \perp FB_1.

Так как DA_1\perp \left ( A_1B_1C_1 \right ),\;A_1 – проекция D на (A_1B_1C_1),\;A_1E – проекция DE на плоскость A_1B_1C_1,\;A_1E \perp A_1B_1 \Rightarrow DE \perp A_1B_1 по теореме о трех перпендикулярах.

б) Найдем расстояние между AB и DE, если AB=3, \; AA_1 =1. Пусть K \in (BC), \; C – середина [BK].

Тогда AA_1EK – прямоугольник, AK \parallel A_1E \Rightarrow AK \perp A_1 B_1 \Rightarrow AK \perp AB . Также AA_1 \perp AB \Rightarrow (AA_1E) \perp AB по признаку перпендикулярности прямой и плоскости; в плоскости (AA_1E) проведем AH \perp DE.

ADEK – трапеция, AD \parallel EK,\; EK =AA_1=1,\;AD=2EK=2,\;AK=2h, где h – высота правильного треугольника ABC,

\displaystyle h=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}, тогда AK=3\sqrt{3}.

Проведем ET \perp AD;

ET \parallel AK,\; ET = AK=3\sqrt{3} .

\triangle ADH \sim \triangle EDT по двум углам, \displaystyle \frac{AH}{ET}=\frac{AD}{DE};

Из \triangle TDE, где ET = 3 \sqrt{3,} DT=1, получим:

DE = \sqrt{(3\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}

\displaystyle AH=\frac{AD \cdot ET}{DE}= \frac{2\cdot 3 \sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}