ЕГЭ-2021. Решение задачи 14

1. Дана правильная треугольная пирамида SABC. АB = 16, высота SH = 10, точка К - середина AS, точка N — середина ВС. Плоскость, проходящая через точку К и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и Р соответственно.

а) Докажите, что $S_{PQCB} : S_{BSC} = 3 : 4.$
б) Найдите объем пирамиды KBPQC.

Решение:

а) Пусть Q – середина SB, P – середина SC;

KQ – средняя линия $\triangle SAB$

KP – средняя линия $\triangle SAC$

PQ – средняя линия $\triangle SBC$

$KQ \parallel AB, KP \parallel AC.$

Значит, $\left ( KPQ \right ) \parallel \left ( ABC \right )$ по признаку параллельности плоскостей.

Докажем, что $\displaystyle S_{PQBC}=\frac{3}{4}S_{\triangle SBC};$

$\triangle SPQ \sim \triangle SCB$ по углу и двум сторонам,

$\displaystyle k=\frac{SQ}{SB}=\frac{1}{2};$

$\displaystyle S_{\triangle SPQ}=k^2 \cdot S_{\triangle SBC}=\frac{1}{4}S_{\triangle SBC}$

$\displaystyle S_{PQBC}=S_{\triangle SBC}-S_{\triangle SPQ}=\left ( 1-\frac{1}{4}\right )\cdot S_{\triangle SBC} =\frac{3}{4}S_{\triangle SBC},$ что и требовалось доказать.

б) Найдем $V_{KBPQC}.$

h – расстояние от точки K до плоскости SBC.

SA – наклонная к плоскости SBC;

так как K – середина SA, расстояние от K до SBC вдвое меньше расстояния от A до (SBC).

Пусть d – расстояние от A до (SBC).

Тогда $\displaystyle \frac{d}{2}$ – расстояние от K до (SBC).

$\displaystyle V_{SABC} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH =\frac{1}{3} S_{\triangle SBC}\cdot d$

Отсюда $\displaystyle d=\frac{S_{\triangle ABC} \cdot SH}{S_{\triangle SBC}};$

$\displaystyle V_{KBPQC}=\frac{1}{3}\cdot S_{BPQC}\cdot \frac{d}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} S_{\triangle SBC}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{S_{\triangle ABC }\cdot SH}{S_{\triangle SBC}}=$

$\displaystyle =\frac{1}{8}\cdot S_{\triangle ABC }\cdot SH =\frac{1}{8}\cdot \frac{AB^2 \sqrt{3}}{4} \cdot SH=\frac{1}{8}\cdot \frac{16^2 \sqrt{3}\cdot 10}{4} =$

$\displaystyle =\frac{16\cdot 16\cdot \sqrt{3}\cdot 10}{32}=80\sqrt{3}.$

Ответ: $80\sqrt{3}.$

2. (Резервный день) В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник АВС. На прямой $AA_1$ отмечена точка D так, что точка $A_1$ – середина отрезка AD. На прямой $B_1C_1$ отмечена точка Е
так, что $C_1$ – середина отрезка $B_1E.$

А) Докажите, что прямые $A_1B_1$ и DE перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми АВ и DE, если АВ = 3, $AA_1=1.$

Решение:

а) Докажем, что $A_1 B_1 \perp DE.$

Пусть $F \in \left ( A_1 B_1 \right );$

$A_1$ – середина отрезка $\left [ B_1F \right ] .$ Тогда $A_1C_1$ – средняя линия треугольника $FEB_1;$

$\triangle FEB_1 \sim \triangle A_1C_1B_1, \;\triangle FEB_1$ – правильный, $EA_1$ – его медиана и высота, $EA_1 \perp FB_1.$

Так как $DA_1\perp \left ( A_1B_1C_1 \right ),\;A_1$ – проекция D на $(A_1B_1C_1),\;A_1E$ – проекция $DE$ на плоскость $A_1B_1C_1,\;A_1E \perp A_1B_1 \Rightarrow DE \perp A_1B_1$ по теореме о трех перпендикулярах.

б) Найдем расстояние между $AB$ и $DE,$ если $AB=3, \; AA_1 =1.$ Пусть $K \in (BC), \; C$ – середина $[BK].$

Тогда $AA_1EK$ – прямоугольник, $AK \parallel A_1E \Rightarrow AK \perp A_1 B_1 \Rightarrow AK \perp AB .$ Также $AA_1 \perp AB \Rightarrow (AA_1E) \perp AB$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости; в плоскости $(AA_1E)$ проведем $AH \perp DE.$

$ADEK$ – трапеция, $AD \parallel EK,\; EK =AA_1=1,\;AD=2EK=2,\;AK=2h,$ где $h$ – высота правильного треугольника $ABC,$

$\displaystyle h=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2},$ тогда $AK=3\sqrt{3}.$

Проведем $ET \perp AD;$

$ET \parallel AK,\; ET = AK=3\sqrt{3} .$

$\triangle ADH \sim \triangle EDT$ по двум углам, $\displaystyle \frac{AH}{ET}=\frac{AD}{DE};$

Из $\triangle TDE,$ где $ET = 3 \sqrt{3,}$ $DT=1,$ получим:

$DE = \sqrt{(3\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

$\displaystyle AH=\frac{AD \cdot ET}{DE}= \frac{2\cdot 3 \sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «ЕГЭ-2021. Решение задачи 14» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.05.2023

ЕГЭ-2021. Решение задачи 14

Это полезно