previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2021. Решение задачи 14

Дана правильная треугольная пирамида SABC. АB = 16, высота SH = 10, точка К - середина AS, точка N — середина ВС. Плоскость, проходящая через точку К и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и Р соответственно.
а) Докажите, что S_{PQCB} : S_{BSC} = 3 : 4.
б) Найдите объем пирамиды KBPQC.

Решение:

а) Пусть Q – середина SB, P – середина SC;

KQ – средняя линия \triangle SAB

KP – средняя линия \triangle SAC

PQ – средняя линия \triangle SBC

KQ \parallel AB, KP \parallel AC.

Значит, \left ( KPQ \right ) \parallel \left ( ABC \right ) по признаку параллельности плоскостей.

Докажем, что \displaystyle S_{PQBC}=\frac{3}{4}S_{\triangle SBC};

\triangle SPQ \sim \triangle SCB по углу и двум сторонам,

\displaystyle k=\frac{SQ}{SB}=\frac{1}{2};

\displaystyle S_{\triangle SPQ}=k^2 \cdot S_{\triangle SBC}=\frac{1}{4}S_{\triangle SBC}

\displaystyle S_{PQBC}=S_{\triangle SBC}-S_{\triangle SPQ}=\left ( 1-\frac{1}{4}\right )\cdot  S_{\triangle SBC} =\frac{3}{4}S_{\triangle SBC}, что и требовалось доказать.

б) Найдем V_{KBPQC}.

h – расстояние от точки K до плоскости SBC.

SA – наклонная к плоскости SBC;

так как K – середина SA, расстояние от K до SBC вдвое меньше расстояния от A до (SBC).

Пусть d – расстояние от A до (SBC).

Тогда \displaystyle \frac{d}{2} – расстояние от K до (SBC).

\displaystyle V_{SABC} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH =\frac{1}{3} S_{\triangle SBC}\cdot d

Отсюда \displaystyle d=\frac{S_{\triangle ABC} \cdot SH}{S_{\triangle SBC}};

\displaystyle V_{KBPQC}=\frac{1}{3}\cdot S_{BPQC}\cdot \frac{d}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} S_{\triangle SBC}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{S_{\triangle ABC }\cdot SH}{S_{\triangle SBC}}=

\displaystyle =\frac{1}{8}\cdot S_{\triangle ABC }\cdot SH =\frac{1}{8}\cdot \frac{AB^2 \sqrt{3}}{4} \cdot SH=\frac{1}{8}\cdot \frac{16^2 \sqrt{3}\cdot 10}{4} =

\displaystyle =\frac{16\cdot 16\cdot \sqrt{3}\cdot 10}{32}=80\sqrt{3}.

Ответ: 80\sqrt{3}.